Matrix derjenigen linearen Abbildungen L angeben

Question

Aufgabe:

Geben Sie die Matrix A derjenigen linear Abbildung L an, die v1 auf w1 und v2 auf w2 abbildet.

\( \begin{array}{ll}\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right) & \vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 3\end{array}\right) \\ \vec{\omega}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) & \vec{w}_{2}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\end{array} \)

Problem:

Ich verstehe den Satz schon alleine nicht. Ich bin verwirrt was ich machen muss und komme also nicht weiter. Ich wäre über eine Erklärung echt dankbar :(

Answer 1

Aloha :)

$$A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & 4\\2 & 3\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & -4\\-2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)$$

Wir machen die Probe:

$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{3}{2}=3\begin{pmatrix}5\\-2\\10\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-7\\3\\-13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\quad\checkmark$$$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{4}{3}=4\begin{pmatrix}5\\-2\\10\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}-7\\3\\-13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Comments

Hallo,

Erstmal danke für deine schnelle Antwort.

Ich hätte aber noch ein paar Fragen.

Woher kommt diese hoch-1 dirket bei deiner ersten Rechnung und wie kommt man dann auf das darauf folgende Ergebnis?

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Die Matrix \(A\) soll ja \((3;2)\) auf \((1;0;4)\) und \((4;3)\) auf \((-1;1;1)\). Das bedeutet formal:$$A\cdot\binom{3}{2}=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\quad;\quad A\cdot\binom{4}{3}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$Dies können wir zu einer Matrix-Gleichung zusammanfassen:$$A\cdot\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}$$Wenn wir nun beide Seiten der Gleichung von rechts mit der inversten Matrix multiplizieren, bekommen wir:

$$A\cdot\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}$$$$A=\begin{pmatrix}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}$$

Die inverse Matrix kannst du sehr wahrscheinlich mit deinem Taschenrechner bestimmen, die meisten Geräte können das heutzutage.

Answer 2

Gesucht wird eine Matrix, ( 2Spalten 3 Zeilen) die , wenn du die Vs von links mit dieser Matrix multipliziert die zugehörigen ws erzeugt. Du hast 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten, die gilt es zu lösen.

Ich wollte noch schreiben, dass es GLS mit jeweils 2 Gleichungen und zwei Unbekannten sind, doch wenn du es verstanden hast ist Tschakabumba s Lösung eleganter.

Sonst melde dich.

Answer 3

Die Abbildung ist bestimmt durch L(v1)=w1 und L(v2)=w2.

Da v1 und v2 lin. unabh. sind, ist sie dadurch

eindeutig bestimmt.

Frage ist: Was ist f ( x;y) = ?

Fang mal an L ( 1 ; 0 )  = ?

Dazu muss man (1;0) in der Form a*v1 + b*v2 schreiben.

Das geht mit a=3 und b=-2 also hast du

(1 ; 0 ) = 3*v1 -2v2   wegen der Linearität

==>  L ( 1;0) = 3*f(v1) - 2*f(v2) = 3w1-2w2 = (5 ; -2 ; 10 ) ^T

Entsprechend finde L ( 0;1) = -4w1 + 3w2 = ( -7 ; 3 : 13 ) ^T

Also ist die Matrix:

5    -7
-2    3
10    -13