Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe der Pyramide.

Question

Aufgabe:

A(5/-2/-2)

B(3/4/-1)

C(-3/1/1)

D(2/-3,5/-1)

Bestimmen Sie rechnerisch die Höhe der Pyramide.

Problem/Ansatz:

Hallo,

kann mir vielleicht jemand sagen wie man die Höhe berechnet. Verzweifel da irgendwie gerade dran. Wäre super lieb wenn mir da jemand helfen könnte oder zumindest ein Ansatz gibt.

Comments

Hallo Emilie,

die vier Punkte A bis D liegen alle in einer Ebene.

Ich nehme an, es handelt sich dabei um die Grundfläche der Pyramide. Welche Informationen gibt es denn zur Lage der Pyramidenspitze?

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Die Pyramidenspitze ist der Punkt S(3/-6/7)

Answer 1

Hallo Emilie,

mit Kenntnis der Spitze kann man die Höhe berechnen.

Bilde zunächst die Hesssesche Normalform der Ebene \(E\), in der die vier Punkte der Grundfläche liegen. Dazu braucht man zwei Richtungsvektoren in der Ebene ... $$\vec{AB} = B-A = \begin{pmatrix}-2\\ 6\\ 1\end{pmatrix}\\ \vec{AC} = C-A = \begin{pmatrix}-8\\ 3\\ 3\end{pmatrix} $$Das Kreuzprodukt beider Vektoren liefert einen Normalenvektor der Ebene$$\vec n' = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix}15\\ -2\\ 42\end{pmatrix}$$Der Punkt \(A\) liegt in der Ebene, damit wird die Normalform der Ebene gebildet$$\begin{aligned} \vec{n}' \left( \vec x - A \right) &= 0 \\ \begin{pmatrix}15\\ -2\\ 42\end{pmatrix}\left( \vec x - \begin{pmatrix}5\\ -2\\ -2\end{pmatrix} \right)&= 0 \\ E: \quad \begin{pmatrix}15\\ -2\\ 42\end{pmatrix} \vec x +5 &= 0\end{aligned}$$Für die Hesssesche Normalform müssen wir die Gleichung noch durch den Betrag von \(\vec n'\) dividieren:$$E: \quad \frac 1{\sqrt{1993}} \begin{pmatrix}15\\ -2\\ 42\end{pmatrix} \vec x + \frac 5{\sqrt{1993}} = 0$$Setzt man nun für \(\vec x\) den Punkt \(S\) ein, steht auf der rechten Seite der Abstand von \(S\) zu dieser Ebene und damit die Höhe \(h\) der Pyramide$$ h = \frac 1{\sqrt{1993}} \begin{pmatrix}15\\ -2\\ 42\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\ -6\\ 7\end{pmatrix} + \frac 5{\sqrt{1993}} \approx 7,97 $$Falls Dir irgendetwas unklar ist, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

Erstens: Es gibt nicht DIE Höhe der Pyramide. Als Höhe bezeichnet man den Abstand eines Punktes zu der aus den anderen drei Punkten gebildeten Grundfläche. Je nachdem, welche drei Punkte du als Eckpunkte der Grundfläche definierst, ergen sich möglicherweise unterschiedliche Abstände des vierten Punktes zu dieser Fläche.

Zweitens: Die Volumenformel lautet V=A_g*h/3.

Durch Umstellen erhältst du h aus dem zu errechnenden Volumen (z.B. mit Spatprodukt) und aus der zu errechnenden Grundfläche (z.B. mit Vektorprodukt).