Bestimme, in welcher Höhe die Pyramide durchgeschnitten werden muss.

Question

Aufgabe:

Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche soll so abgeschnitten werden, dass die abgeschnittene Pyramide und der Pyramidenstumpf das gleiche Volumen haben. a ist die Grundseite und h der "großen" Pyramide; a₁ die Grundseite und h₁ die Höhe der abgeschnittenen Pyramide.

Bestimme, in welcher Höhe die Pyramide durchgeschnitten werden muss.

Problem/Ansatz:

Große Pyramide V = \( \frac{1}{3} \) ·G·h mit G=a·a

Kleine Pyramide: V₁ = \( \frac{1}{3} \) ·G₁·h₁ mit G₁=a_{1 ·}a₁

Mit Strahlensatz h₁ : h = a₁ : a und 1:2 = V₁:V = (h₁ ·a₁ ·a₁) : (h · a · a)

Und dann komme ich nicht mehr weiter, dass nachher nur noch h₁= "irgend was mit h" da steht....

Answer 1

Bezeichnen wir den Quotienten  a₁: a mit q .

Dann ist auch  h₁: h = q und weiter:

V₁ : V = q³ .

Also müsste  q³ = 1/2  sein und somit  q = \( \sqrt[3]{1/2} \) = 1 / \( \sqrt[3]{2} \)

Folglich    h₁ =  q · h =  h / \( \sqrt[3]{2} \)  ≈  0.7937 h

Die Höhe des verbleibenden Pyramidenstumpfs wäre dann gleich   h - h₁ ≈  0.2063 h

Comments

V₁ : V = q³

Soweit klar, aber kannst du diesen Schritt nochmal erläutern?