In welcher Höhe beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide 25m2?

Question

Aufgabe:

Bigalke / Köhler

Mathematik Gymnasiale Oberstufe Berlin ma-3 GK

S. 61 Nr. 15

I. Geraden

d) In welcher Höhe beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide 25m²?

Gegeben:

Gegeben sei eine quadratische Pyramide, die 100 m breit und 50 m hoch ist.

=> A (0I0I0), B (0I100I0), C (-100I100I0), D (-100I0I0), S(-50I50I50)

Problem/Ansatz:

Der horizontale Querschnitt beträgt, bei r*BC = 5m, 25m², da

Mein Lösungsvorschlag: Die höhe beträgt 47,5m, da 1LE von r*BC 0,5LE von MS entspricht, wobei M der Mittelpunkt des Quadrates ist und S die Höhe. Da r*BC 5m sein muss um einen Flächeninhalt von 25m² zu erhalten und die Grundfläche 100m²

bei r*BC = 100m beträgt. Dementsprechend ist MS für r*BC = 5 2,5m, was von der Gesamthöhe von 50 abgezogen wird, das führt zu einer höhe von 47,5m als Endergebnis.

Es gibt wahrscheinlich vektorielle Lösungswege aber momentan sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nichtmehr.

Ich würde mich über Antworten sowie Nachfragen freuen.

Comments

Was, wenn die Grundfläche 100 m 100m = 10000m² beträgt?

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Da hast du absolut Recht. Dennoch ändert das nichts an dem Rechenweg wie er in der Aufgabe steht. Danke für deine schnelle Antwort sowie Korrektur.

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das nicht, aber deine schreibweise ist sehr gewöhnungsbedürftig. unter r*BC würde ich einen vektor r*(C-B) verstehen

Answer 1

Die Kantenlänge des Quadrates nimmt linear mit der Höhe ab.

In einer Höhe von 0 m hat man eine Kantenlänge von 100 m.

In einer Höhe von 50 m hat man eine Kantenlänge von 0 m

Lineare Funktion durch die Punkt (0 | 100) und (50 | 0)

y = 100 - 100/50*x = 100 - 2*x

Eine Fläche von 25 m² hat man, wenn die Kantenlänge 5 beträgt.

y = 100 - 2*x = 5 → x = 95/2 = 47.5 m

Es geht auch über Vektoren

Du hattest ja bereits die Geraden der Kanten aufgestellt

gAS: X = r * [-50, 50, 50] = h * [-1, 1, 1] = [-h, h, h] wobei h die Höhe in m angibt.

gBS: X = [0, 100, 0] + r * [-50, -50, 50] = [0, 100, 0] + h * [-1, -1, 1] = [-h, 100 - h, h]

Die Kantenlänge der Strecke A'B' in der Höhe h ergibt sich durch

[-h, 100 - h, h] - [-h, h, h] = [0, 100 - 2·h, 0]

100 - 2·h = 5 --> h = 47.5 m

In der Höhe von 47.5 m ist die Fläche 25 m²

Comments

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort.