Aloha :)
Lass uns einfach mal mit elementaren Gauß-Operationen die Matrix auf Diagonalgestalt bringen:
$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline 2 & 3 & 0 & 3 & \\-4 & -7 & -1 & a-2 & +2\cdot\text{Zeile 1} \\0 & 1 & 1 & -2 &\\\hline 2 & 3 & 0 & 3 & -3\cdot\text{Zeile 3}\\0 & -1 & -1 & a+4 & \cdot(-1) \\0 & 1 & 1 & -2 & +\text{Zeile 2}\\\hline 2 & 0 & -3 & 9 & \\0 & 1 & 1 & -a-4 & \\0 & 0 & 0 & a+2 & \\\hline\hline\end{array}$$
Weil der Koeffizientenanteil eine Nullzeile hat, gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen des LGS. Für \(a\ne-2\) ist die letzte Gleichung nie erfüllbar, denn$$0x+0y+0z=a+2\ne0\quad\text{für}\quad a\ne-2$$Dann hat das LGS keine Lösung.
Für \(a=-2\) lautet die letzte Gleichung$$0x+0y+0z=-2+2=0\quad\text{für}\quad a=-2$$und ist immer erfüllt. Du hast also 3 Variablen \(x,y,z\) und nur 2 Gleichungen. Das heißt, du kannst eine der Variablen völlig frei wählen und die beiden anderen dann mit den beiden Gleichungen berechnen. Daher gibt es für \(a=-2\) unendlich viele Lösungen.
