Text erkannt:
(ii) Es sei \( \lambda_{\text {min }} \) der kleinste \( ^{1} \) Eigenwert von \( A \) und \( \lambda_{\max } \) der größte Eigenwert von \( A \). Nutze (i), um nachzuweisen, dass
$$ \lambda_{\min } \leqslant\langle A \vec{x}, \vec{x}\rangle \leqslant \lambda_{\max } $$
für alle \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \|\vec{x}\|=1 \) gilt.
Problem/Ansatz:
Für symmetrische Matrix A:
Bei i) ging es darum zu zeigen, dass jede lokale Extremstelle von f(x)=<Ax,x> mit der Nebenbedingung ||x||=1 ein Eigenvektor von A sein muss.
Ich bin da wie folgt herangegangen:
NB: <x,x>-1=0
<Ax,x>=λ(<x,x>-1)=0
für alle part. Ableitungen
Also gilt
2Ax+2λx=0
⇔Ax=-λx
Bei ii) würde ich über das Eigenwertkriterium argumentieren, also sind alle negativ so liegt ein maximum vor sind alle positiv, so liegt ein minimum vor. Habt ihr vielleicht ein paar Ideen? Wäre für Hilfe sehr dankbar.
LG
