grenzwerte uni (1+1/5x)7x

Question

Aufgabe:

Hallo,

ich mache zurzeit mathe 1 und bei dem themengebiet der Grenzwerte haben wir folgende aufgabe: lim x→unendlich     (1+1/5x)^7x

ich habe jetzt 1 ausgerechnet. Doch in den lösungen der Dozentin steht e^7/5. Könnte jemand mir erklären wie man darauf kommt?

Answer 1

Hallo,

du musst wissen, dass

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^{n}=e^x$

Das ist ein wichtiger bekannter Grenzwert.

Man kann jetzt deinen Grenzwert umformen zu (ich schreibe anstelle deines x n hin, weil man dann leichter mit dem obigen Grenzwert vergleichen kann):

$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{5n})^{(7n)}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{\frac{7}{5}}{(7n)})^{(7n)}$

Wir setzten nun 7n=n'

$\lim\limits_{n'\to\infty}(1+\frac{\frac{7}{5}}{n'})^{n'}$

Das ist gerade der erste Grenzwert mit x = 7/5 .

Answer 2

Du kennst sicher den Grenzwert für x gegen unendlich  ( 1 + t/x ) ^x = e^t

( siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition )

(1+1/5x)^(7x) = ( (1+(1/5) / x)^x ) ⁷  dann geht das gegen

                    ( e^(1/5) ) ⁷  =    e^(7/5).