für meine Hausübung für die Uni brauche ich sehr dringend eure Hilfe! Es geht um folgende Aufgabe:
Es sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \) -Vektorraum mit Basis \( B=v_{1}, \ldots, v_{n} \) und \( V^{\star}:=\mathcal{L}(V, \mathbb{F}) . \) Wir definieren nun für \( i=1, \ldots, n \) :
\( v_{i}^{\star}: V \rightarrow \mathbb{F}, v_{j} \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { falls } i=j \\ 0, & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
und fordern, dass sämtliche \( v_{i}^{\star} \) linear sind.
Wir definieren nun \( V^{\star \star}:=\mathcal{L}\left(V^{\star}, \mathbb{F}\right) \) und darauf die Abbildung
\( \Psi: V \rightarrow V^{\star \star}, v \mapsto \Psi_{v} \)
wobei \( \Psi_{v}\left(v^{\star}\right)=v^{\star}(v) \) ist. Zeigen Sie, dass \( \Psi \) linear und bijektiv ist.
Irgendwie stehe ich komplett auf dem Schlauch. Ich bin für jeden Ansatz dankbar.
