Suche den Betrag eines Vektors im R^3, mit einem Komplexen Anteil.

Question

Ich suche den "Betrag" eines Komplexen Vektors.

$$v1=\begin{pmatrix} 2\\0\\2*i \end{pmatrix}$$

Mein Vorschlag:

$$v1=\begin{pmatrix} 2\\0\\2*i \end{pmatrix}\rightarrow |v1|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}$$

Ist das so richtig? Also kann ich das i einfach weg lassen oder ist das falsch?

Answer 1

Aloha :)

Das Skalarprodukt in \(\mathbb C\) ist etwas anders definiert als in \(\mathbb R\). In \(\mathbb C\) muss man einen Vektor komplex konjugieren. Daher ist:$$\left|\vec z\right|^2=\vec z\cdot\vec z^\ast=\begin{pmatrix}2\\0\\2i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\0\\-2i\end{pmatrix}=2\cdot2-2\cdot2i^2=4+4=8\implies|\vec z|=\sqrt8=2\sqrt2$$

Comments

\( \left[\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ i\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}1 \\ 5 \\ -i\end{array}\right]=1+5 \cdot 5+i \cdot(-i)=26-i^{2} = 27 \)

Ist das so richtig?

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Ja, perfekt! Das ist \(|z|^2\), wenn du den Betrag brauchst, musst du natürlich noch die Wurzel ziehen.

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\( \left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 5\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}1 \\ 5 \\ -i\end{array}\right]=1+3 \cdot 5+5 \cdot(-i)=16-5 \cdot i \)

Und wenn ich nur auf der rechten Seite einen Vektor habe, der ein i hat, dann bleibt das $$i$$ so stehen am ende oder? (Skalarprodukt zwischen (1,3,5) und (1,5,i). Das $$i$$ habe ich negativ gesetzt.

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Im Prinzip hast du recht. ABER: Die Physiker definieren das Skalarprodukt in \(\mathbb C\) gerne so, dass der zweite Vektor komplex konjugiert wird. Die Mathematiker machen es oft umgekehrt, dass also der erste Vektor komplex konjugiert wird. Daher schau bitte genau in deine Vorlesung, wie ihr das definiert habt.

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Aber bei mir gibt es ja hier nur einen Vektor, der ein $$i$$ hat. Ich denke dann mal, dass es hier dann egal ist.

Danke dir!

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In unserer VL hat der Prof. das hier genutzt:

Standardskalarprodukt für \( V=\mathbb{C}^{n}: \)
$$ \langle u, v\rangle:=u_{1} \bar{v}_{1}+\ldots+u_{n} \bar{v}_{n}=u^{T} \bar{v} $$

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Dann hast du alles richtig gemacht. Dann wird der zweite Vektor komplex konjugiert.

Answer 2

Richtig wäre:$$\sqrt{|2|^2+|0|^2+|2i|^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{0^2+2^2})^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ Das ist aber auch so definiert in \(\mathbb{C}^3\). Vgl. hier.