Sei f : R → R eine Funktion und sei c ∈ R. Wir nennen c eine kleinste obere Schranke von f, falls
(i) für alle x∈R gilt f(x) ≤ c und
(ii) für alle ε>0 existiert ein x∈R mit f(x) > c−ε.
Aufgabe:
Sei f : R → R eine nach oben beschränkte Funktion und sei c ∈ R minimal mit der Eigenschaft f(x) c für alle x ∈ R. Zeigen Sie: c ist eine kleinste obere Schranke von f. Insbesondere gilt: Jede nach oben beschränkte Funktion hat eine kleinste obere Schranke.
Ansatz:
Um die Eigenschaft (ii) zu beweisen soll man annehmen, dass ein ε > 0 existiert, sodass für alle x ∈ R gilt f(x) c − ε und dies auf einen Widerspruch führen
Bin dankbar für hilfreiche Tipps!
