Integral bestimmen für jedes r aus gegebenen Intervall

Question

Zeigen Sie: Für jedes \( r \in(-1,1) \) ist das Integral \( \int \limits_{0}^{\pi} \log \left(1-2 r \cos (t)+r^{2}\right) d t \) gleich \( 0 . \)

Als Hinweis ist gegeben: Differentiation unter dem Integral. Es bietet sich an im Komplexen zu rechnen, und den Term \( 1 - 2r cos(t) + r^2 = (1 - re^{it})(1 - re^{-it}) \) zu faktorisieren. Mit einer Partialbruchzerlegung läßt sich dann das Integral leichter berechnen.

Jemand eine Idee?

Answer 1

Mit der Faktorisierung ergibt sich $$ \int_0^{\pi} \log( 1 -2r \cos(t) +r^2) dt = \int_0^\pi \log(1-re^{it})dt+\int_0^\pi \log(1-re^{-it})dt $$

Substituiere \( z = 1-re^{it} \) bzw. \( z = 1-re^{-it} \). Es folgt

$$ \int_0^{\pi} \log( 1 -2r \cos(t) +r^2) dt =i \int_{1-r}^{1+r} \frac{\log(z)}{1-z} dz - i \int_{1-r}^{1+r} \frac{\log(z)}{1-z} dz = 0 $$