Berechne die Wasserhöhe wenn in die Vase 1,5l eingefüllt wurde.

Question

Aufgabe:

Eine Firma beschäftigt sich mit der Herstellung von Vasen. Dazu betrachten sie verschiedene Formen. Die Vase soll 60cm hoch sein.

1. Für die Querschnittsfläche Q(z) in cm^2 in Abhängigkeit von der Höhe z soll gelten: Q(z)=0,5z+6
Berechne die Wasserhöhe wenn in die Vase 1,5l eingefüllt wurde.

2. Die Querschnittsfläche A(z) in der Höhe z soll rechteckig sein. Für die Breite gilt b(z) und die Länge a(z) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Höhe z gilt: a(z)=15 und b(z)=0,5z+12
Berechne wie viel Wasser in die Vase passen!

Problem/Ansatz:

Ich verstehe absolut nichts.

Comments

Da ich mich in meiner Antwort zuerst vertippt hatte, hier folgender Hinweis: Die Aufgabe verwendet nicht die SI-Einheit Meter, sondern cm. Da macht es Sinn, überalll cm zu verwenden. Beim Volumen gilt 1 Liter = 10³ cm².

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Steht die Aufgabe im Kapitel "Rotationsvolumen"?

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Ich denke, die Aufgabe steht im Kapitel : "Fläche von Rechteck und Dreieck"

Oder auch

" Fläche des Trapez"

Alles andere ist mit Kanonen auf Spatzen schießen.

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@Silvia nein, im Kapitel Anwendungen der Integralrechnung :D

Answer 1

1.

\( \int\limits_{0}^{h}  0,5z + 6 \)  dz = 1,5 * 10³

2.

\(V = 15 \cdot \int\limits_{0}^{60}  0,5z + 12 \) dz

Comments

Soll ich die erste Aufgabe umformen?

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Bei der ersten Aufgabe willst Du h wissen.

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Wie kann ich h wissen wenn ich nciht weiß was z ist?

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z ist die Höhenachse der Vase. Bei z = h ist der obere Rand der Vase. Bei z = 0 ist der untere Rand der Vase.

Ein bestimmtes Integral ist die Stammfunktion an seiner oberen Grenze minus die Stammfunktion an seiner unteren Grenze.

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Ich versteh gar nichts :(

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Schwierig. Besser so?

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Nein immer noch nicht…

Ich habs versucht auszurechnen bei mir steht no solution

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Was hast Du versucht wie auszurechnen, und wo steht "no solution"?

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Also ich habe versucht das h rauszubekommen

Ich hab eingegeben:

solve(1,5•10^3=Integral0,5z+6dz

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Wo eingegeben? Wenn ich das richtig verstehe, hast Du ein unbestimmtes Integral eingegeben. Wie soll die Maschine dann wissen, dass h gefragt ist wenn in der Eingabe kein h vorkommt?

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Ich hab genau das im Tr eingegeben was du geschrieben hast und nach z umge“solve“d sozusagen

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Du willst doch h wissen?

Da braucht es auch keinen Taschenrechner, denn, siehe oben:

Ein bestimmtes Integral ist die Stammfunktion an seiner oberen Grenze minus die Stammfunktion an seiner unteren Grenze.

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Häääää wie soll ich das dann machen?

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Ich würde zuerst die Stammfunktion vom Integranden bilden.

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Ich checks wirklich nicht

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Weisst Du nicht was der Integrand ist, oder nicht wie man seine Stammfunktion bildet?

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Beides nicht

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Der Integrand ist 0,5z + 6

Die Stammfunktion ist 0,25z² + 6z

Die Stammfunktion am oberen Ende ist 0,25h² + 6h

Die Stammfunktion am unteren Ende ist 0

Das bestimmte Integral ist 0,25h² + 6h - 0 und das ist = 1500

⇒ h = ...

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h= 78,38 oder?

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Nein. Was hast Du für eine Diskriminante?

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Wurzel aus (6/2)^2 -0

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D = b² - 4ac                                     (allgemein)

D = 6² - 4 \( \frac{1}{4} \) (-1500)                        (diese Aufgabe)

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kommt 1536 raus oder?

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Offensichtlich ist das so. Und wenn Du h gefunden hast, dann merkst Du dass

\( \int \limits_{0}^{66.3837}(0.5 z+6) d z=1500 \)

Das ist das, was zwei Bildschirmmeter weiter oben in meiner Antwort steht.

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Wie kommt man auf 66,3837?

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Indem man die oben genannte quadratische Gleichung löst, über deren Diskriminante wir uns unterhalten haben.

Bei Deiner Frage ganz oben hat übrigens Silvia eine Frage gestellt. Die solltest Du dort beantworten.

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Bei mir ist aber 1536 rausgekommen?

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Das ist die Diskriminante, nicht die Lösung.

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Dankeschön für Ihre Hilfe!

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Gerne geschehen.

Bei Deiner Frage ganz oben hat übrigens Silvia eine Frage gestellt. Die solltest Du dort beantworten.

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Ich verstehe den Aufwand nicht. Wir haben jeweils die Fläche unter einer linearen Funktion. Um es noch einfacher zu machen müssen wir die Fläche eines Dreiecks und die eines Rechtecks bestimmen. Wenn nun ein Schüler der Klasse 7 diese Aufgabe lösen sollte, dann würde er das Dreieck mit Grundlinie * Höhe /2

hier

0,5x*x/2= 3600/4=900

und das Rechteck mit Grundlinie mal Höhe berechnen.

6*x=6*60= 360

und sehen, dass 900+360=1260

die Vase also zu klein ist.

Vielleicht würde er auch das Trapez sehen und die mittlere Höhe nehmen

(0,5x+6+6)/2 *60

(0,5*60+6+6)/2*60=21*60=1260

Er würde nie auf die Idee kommen, ein Integral auszurechnen, auch wenn er es defakto macht.

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@Silvia nein, im Kapitel Anwendungen der Integralrechnung :D

Answer 2

1. Für die Querschnittsfläche Q(z) in cm^2 in Abhängigkeit von der Höhe z soll gelten: Q(z)=0,5z+6
Berechne die Wasserhöhe wenn in die Vase 1,5l eingefüllt wurde.$$V= (0,25z+6)z=1500$$$$V(60)= (0,25*60+6)*60$$$$=21*60=1260  cm^3=1,26  l$$Die Vase ist zu klein.$$0,25z^2+6z=1500$$$$z^2+24z=6000$$$$z^2+24z+144=6144$$$$(z+12)^2≈78,384^2$$$$z+12≈78,384$$$$z≈66,384 cm$$66,384 cm beträgt die benötigte Höhe.

2)

Die Querschnittsfläche A(z) in der Höhe z soll rechteckig sein. Für die Breite gilt b(z) und die Länge a(z) des Rechtecks in Abhängigkeit von der Höhe z gilt: a(z)=15 und b(z)=0,5z+12
Berechne wie viel Wasser in die Vase passen!
$$A=15*(0,5z+12)$$$$V(60)=$$$$(7,5*60/2+15*12)*60$$$$=(225+180)*60=405*60$$$$=24300  cm^3 = 24,3  l$$