Tangente an dem Punkt lösen ...

Question

Aufgabe: Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0/f(x0)).

Gegeben: f(x)=0.5x^3-x und x0 =-1

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie ich da vor gehen soll.

Answer 1

Tangente

Ist eine Gerade. Die Funktionsgleichung hat also die Form

(1)        t(x) = mx + b

mit zu bestimmenden m und b.

an den Graphen von f im Punkt P(x0/f(x0)).

Sie hat bei x0 die gleiche Steigung wie f, also

        t'(x0) = f'(x0)

und somit

(2)        m = f'(-1).

Außerdem hat sie bei x0 auch den gleichen Funktionswert wie f, also

        t(x0) = f(x0),

und somit

(3)        m·(-1) + b = 0.5·(-1)³ - (-1).

Rechne m mittels (2) aus. Setze in (3) ein. Setze die Werte für m und b dann in (1) ein.

Wie du hoffentlich siehst, ergibt sich das Rechenverfahren direkt aus den zwei Egenschaften einer Tangente: sie hat an der Stelle wo sie angelegt wird die gleiche Steigung und den gleichen Funktionswert wie die Funktion. Dieses zwei Eigenschaften werden als Gleichungen formuliert.

Answer 2

f ' (x) = 1,5x^2 - 1 ==>  f ' ( -1) = 0,5

Das ist die Steigung der Tangente.

Wegen f(-1) = 0,5  ist P( -1 ; 0,5 ) der Perührpunkt.

Mit der Geradengleichung für die Tang.  y = m*x+n

erhältst du            0,5 = 0,5*(-1) + n ==>   n=1

Also t:  y = 0,5x + 1    sieht so aus :

~plot~ 0.5*x+1;0.5x^3-x ~plot~

Answer 3

f(1)=-0,5;  P(1|-0,5) Habe das Minuszeichen vor der 1 jetzt erst gesehen.

f '(x)=3/2·x²-1; f '(1)=0,5=m

Punkt-Steigungsform: 0,5=\( \frac{y+0,5}{x-1} \).

Nach y aufgelöst: y=1/2·x - 1.