Matrix Inverse berechnen.

Question

Also gegeben ist, A= \( \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) ud B = \( \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \)

Die Inverse einer 2 × 2-Matrix M = \( \begin{pmatrix} m1,1& m1,2 \\ m2,1& m2,2 \end{pmatrix} \) ist gegeben durch

M^−1 = \( \frac{1}{det(M)} \) \( \begin{pmatrix} m2,2 & -m1,2 \\ -m2,1 & m1,1 \end{pmatrix} \)

Berechnen Sie A^−1 und überprüfen Sie, ob A · A^−1 = A^−1· A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Prüfen Sie über die Determinante, ob B ein Inverses besitzt, ohne dieses explizit auszurechnen.

Hallo :-)

Leider habe ich keine Ahnung, was genau hier gemacht werden muss. Das Thema ist nicht so wirklich meins. Kann mir jemand behilflich sein und mir einen Ansatz geben?

Answer 1

Hallo,
damit eine Matrix invertierbar ist, muss die Determinante ungleich null sein.

Für eine 2x2 Matrix kannst du die Determinante wie gefolgt berechnen:

Determinante von der Matrix A $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$  wird berechnet als det(A) = a*d - b*c (setze halt bei deiner Aufgabe für a= 2, b= 0,...)

Nun hast du die Determinante und musst die Inverse bestimmen (falls det(A) ≠ 0), dafür hast du ja eine Art Formel, was du schon aufgeschrieben hast

M⁻¹ = \( \frac{1}{det(M)} \) \( \begin{pmatrix} m2,2 & -m1,2 \\ -m2,1 & m1,1 \end{pmatrix} \)

Um zu überprüfen, ob deine Inverse auch stimmt kannst du A · A⁻¹ = A⁻¹· A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)  berechnen