Aloha :)
Wir führen einen Beweis durch Widerspruch. Nehmen wir also an, \(\sqrt3\) sei rational. Dann gibt es zwei natürliche Zahlen \(p\) und \(q\), die teilerfremd sind (sich also nicht kürzen lassen), sodass:$$\left.\sqrt3=\frac{p}{q}\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.3=\frac{p^2}{q^2}\quad\right|\cdot q^2$$$$\left.3q^2=p^2\quad\right.$$
\(p\) und \(q\) sind natürliche Zahlen, also sind auch \(p^2\) und \(q^2\) natürliche Zahlen.
\(3q^2\) ist also durch \(3\) teilbar.
Daher ist auch \(p^2\) durch \(3\) teilbar.
Wir untersuchen nun die Teilbarkeit von \(p\) und zerlegen \(p\) in einen Anteil \(3\cdot n\) mit \(n\in\mathbb N_0\), der durch \(3\) teilbar ist und in einen Rest \(r\).$$p=3n+r$$Dieser Rest kann nur die Werte \(r=0\), \(r=1\) oder \(r=2\) annehmen. Das bedeutet:$$r=0\implies p^2=(3n+0)^2=9n^2\quad\text{durch \(3\) teilbar}.$$$$r=1\implies p^2=(3n+1)^2=9n^2+6n+1\quad\text{nicht durch \(3\) teilbar}.$$$$r=2\implies p^2=(3n+2)^2=9n^2+12n+4\quad\text{nicht durch \(3\) teilbar}.$$Da wir oben gesehen haben, dass \(p^2\) durch \(3\) teilbar ist, muss der Rest \(r=0\) sein.
Dann ist also \(p=3n\) ebenfalls durch \(3\) teilbar.
Wir greifen die letzte Gleichung von oben wieder auf und setzen \(p=3n\) ein:
$$\left.3q^2=p^2=(3n)^2=9n^2\quad\right|:3$$$$\left.q^2=3n^2\quad\right.$$
Das heißt, auch \(q^2\) ist durch \(3\) teilbar.
Dann ist aber mit derselben Argumentation wie oben auch \(q\) durch \(3\) teilbar.
Zusammenfassend sind also \(p\) und \(q\) durch \(3\) teilbar.
Also können wir den Bruch \(\sqrt3=\frac{p}{q}\) mit \(3\) kürzen.
Daher sind \(p\) und \(q\) nicht teilerfremd.
Also war unsere Annahme, dass \(\sqrt3\) rational ist, falsch.
\(\sqrt3\) ist irrational.
