Differenz zweier Quadratzahlen

Question

guten morgen.

ich habe folgendes problem. ich muss eine aufgabe lösen, komme aber auch nach stunden des ausprobierens auf keine lösung. es wäre super wenn mir dabei einer helfen kann. die aufgabe lautet:

21 ist die differenz zweier quadratzahlen.: 21= 5^2 - 2^2

a) finde möglichst  viele natürliche zahlen, die sich ebenfalls als differenz zweier quadratzahlen schreiben lassen. gebt die differenz an.

b) welche natürlichen zahlen lassen sich nicht so schreiben? begründe.

ich habe ganz viele natürliche zahlen gefunden, wo das geht und nur wenige wo es nicht geht. ich habe aber keine regelmäßigkeit entdecken können.
es muss aber glaub ich irgendwas mit der binomischen formel: a^2-b^2= (a+b) (a-b) zu tun haben.
danke schon mal. schönen tag euch noch. :-)

Comments

Versuch mal 2,6,10... so zu schreiben

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Eine Zahl z ist genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen  a, b  aus  N, wenn z in der Form

z = d ( d+2b) ,   d, b  aus  N,  darstellbar ist.

Beweis:
I.  Sei  z = a² - b²  ,  a, b  aus N  und  a>b .  Setze  a :=  d + b,  dann gilt:

    z = (d + b)² - b² = d² + 2bd + b² - b²  =  d² + 2bd = d ( d + 2b)

II.  Sei  z = d (d + 2b)  darstellbar mit   d, b  aus  N.  Dann gilt:

     z = d² + 2db + b² - b² =  (d + b)² - b²  =  a² - b²  mit  a = d + b        ,   q.e.d.

Autor:  Gg, Marne

Answer 1

Es gibt bei Differenz zweier Quadratzahlen a und b 3 Möglichkeiten, wie ich a und b auswählen kann:

1)

a und b ungerade:

Sei a=2n+1 und b=2m+1 n,m∈ℕ (n≠m):

Dann gilt für a²- b² = (2n+1)² - (2m+1)² = 4n² + 4n + 1 - 4m² -4m - 1 = 4 (n²-m²+n-m)

Das ist immer eine durch 4 teilbare Zahl.

2)

a gerade und b ungerade:

Sei a=2n und b=2m+1 n,m∈ℕ (n≠m):

Dann gilt für a²- b² = (2n)² - (2m+1)² = 4n²  - 4m² - 4m - 1 = 4 (n²-m²-m) -1.

Das ist immer eine ungerade Zahl.

3)

a gerade und b gerade:

Sei a=2n und b=2m n,m∈ℕ (n≠m):

Dann gilt für a²- b² = (2n)² - (2m)² = 4n²  - 4m² = 4 (n²-m²).

Wiederum eine durch 4 teilbare Zahl.

 

Mit der Differenzbildung kann man also nur durch 4 teilbare Zahlen und ungerade Zahlen erzeugen, weswegen eben 2,6,10,14 usw. nicht zu erzeugen sind.

Übrigens kann man jede ungerade Zahl erzeugen, weil

 (n+1)² -  n² = n² +2n + 1 - n² = 2n +1 für alle n∈N₀ gilt.

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vielen vielen dank, das hat mir sehr geholfen. lg

Answer 2

Hi, irgendwo in der Mittelstufe, vielleicht auch früher, wo die Quadratzahlen behandelt werden, kann man entdecken, dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen immer eine Quadratzahl ist, nämlich genau n². Subtrahiert man nun diese Quadratzahl von ihrem unmittelbaren Quadratzahlnachfolger (n+1)², so ergibt sich die n-te ungerade Zahl 2n+1. Es gilt also, was auch leicht nachzurechnen ist:
$$ \left(n+1\right)^{2}-n^{2}=2n+1 $$
Ungerade Zahlen sind also immer als Differenz zweier Quadratzahlen darstellbar. Mit u:=2n+1 lässt sich diese Darstellung auch einfach ausrechnen, es ist:
$$ u=\left(\frac{u+1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{u-1}{2}\right)^{2} $$
Für die oben schon angesprochene Zahl u=21 ergibt sich damit:

21 = 11² - 10²

als eine weitere Darstellung.

Bei geraden Zahlen verhält es sich etwas anders: Nicht jede gerade Zahl kann als Differenz zweier Quadratzahlen dargestellt werden. Immerhin müssen beide Quadratzahlen entweder gerade oder ungerade sein, damit ihre Differenz gerade ist. Damit lassen sich leicht die geraden Zahlen identifizieren, die als Quadratzahldifferenz dargestellt werden können.

Answer 3

danke es war Sehr Hilfreich