Mathematik - Integrale & Faktoren?

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte erklären, wie ich dies zu berechnen habe?

''Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen f(x) = -x² + 4x, der y-Achse und der Geraden y = 4 eingeschlossen wird.''

Die Lösung lautet dabei A = 8 - Integral von 0 bis 2 f(x)dx = 8 - 5 1/3 = 2 2/3.

Mir erschließt sich dabei jedoch nicht, wie ich auf die 8 vor dem Integral komme - ich ermittle die Grenzen dadurch, indem ich die Nullstellen berechne. ( -x² + 4x -4 = 0; x = 2)

Wie komme ich nun aber auf diese 8 vor dem Integral?

Vielen Dank.

Answer 1

Darum geht es in der Aufgabe:

Comments

Das ist mir klar - ich komme auch auf das Ergebnis, wenn ich die Gleichung umstelle.

Ich kann beispielsweise auch das Integral von 0 bis 2 nehmen und y - f(x) aufstellen - also Integral von 0 bis 2 (4-(x^2 + 4x))dx.

Dennoch würde ich - auch weil das Buch es anders schreibt - es gerne nachvollziehen, weshalb ich alternativ auch eine 8 vorne setzen könnte. Ich sehe zumindest bislang keine Verbindung zur 8 mittels einer Gleichung.

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Die gesuchte Fläche erhältst du, wenn du von dem blauen Rechteck (Flächeninhalt 8) die Fläche unter dem Graphen der quadratischen Parabel subtrahierst.

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Alles klar, das fehlte mir - herzlichen Dank!