Linearität der Abbildungen überprüfen. Bsp. f(x,y)^T = (3xy,3x)^T

Question

Aufgabe ist zu überprüfen ob die Abbildungen linear sind:

a) \( \Phi_{1}: R[x] \mapsto R, \quad p \mapsto p(1) \)

b) \( \Phi_{2}: R^{3} \mapsto R, \quad\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \mapsto\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right| \)

c) \( \Phi_{3}: R^{2} \mapsto R^{2}, \quad(x, y)^{T} \mapsto(3 x y, 9 x)^{T} \)

d) \( \Phi_{4}: R^{2} \mapsto R^{2}, \quad(x, y)^{T} \mapsto(3 x-y, 9)^{T} \)

e) \( \Phi_{5}: R^{3} \mapsto R^{2},\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c}x+2 y+3 z \\ 3 x+2 y+z\end{array}\right) \)

Comments

Wie ist Linearität definiert? Rechne nach, dass die Definition erfüllt ist.

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stimmt das soweit? & wenn ja wie lautet denn das Bild?

b) \( v, w \epsilon R^{3} \)
\( x_{1}+y_{1} \)
\( \Phi_{2}(v+w)=\Phi_{2}\left(x_{2}+y_{2}\right)=\left|x_{1}\right|+\left|y_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|y_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|y_{3}\right|=\left|x_{l}\right|+\left|x_{2}\right|+\left|x_{3}\right|+\left|y_{1}\right|+\left|y_{2}\right|+\left|y_{3}\right|=\Phi_{2}(v)+\Phi_{2}(w) \)
\( x_{3}+y_{3} \)
\( \Phi_{2} \) ist eine lineare Abbildung, denn es gilt \( \Phi_{2}(a v)=a \Phi_{2}(v) \) für aeR \( \operatorname{ker}\left\{\Phi_{2}\right\}=\{0\} \)

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Es ist falsch, in b liegt keine lineare Abb. vor. Das problem in deiner Rechnung ist das zweite gleich, dahinter kommt |x1+y1|+|x2+y2|+|x3+y3|