Orthogonalität bei Gram-Schmidt

Question

Sei Q_k = [q₁,...,q_k] ∈ R^mxk mit Q_k^TQ_k = I_k und A = [a₁,...,a_n] ∈ R^mxn mit linear unabhängigen Spalten a_i.

Sei v∈R^m.

Wie zeige Ich (I_m−Q_kQ_k^T)v steht senkrecht auf q₁,...,q_k ???

Answer 1

Aloha :)

Wenn der Vektor \((\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v\) auf den Spaltenvektoren \(\vec q_1,\ldots,\vec q_k\) senkrecht stehen soll, müssen die folgenden Skalarprodukte verschwinden:$$\vec q_i\,^T\cdot(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v\stackrel!=0\quad;\quad i=1,\ldots,k$$Wenn wir die Matrix \(\mathbf Q_k\) transponieren, werden alle Spaltenvektoren \(\vec q_1,\ldots,\vec q_k\) zu Zeilenvektoren. Daher können wir die gerade aufgestellte Forderung für alle \(i=1,\ldots,k\) in einer Matrixgleichung zusammenfassen:$$\mathbf Q_k^T\cdot(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v\stackrel!=\vec 0$$

Wir berechnen die linke Seite und prüfen, ob wirklich der Nullvektor heraus kommt:

$$\mathbf Q_k^T\cdot(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v=(\mathbf Q_k^T-\underbrace{\mathbf Q_k^T\cdot\mathbf Q_k}_{=\mathbf I_k}\cdot\mathbf Q_k^T)\vec v=(\mathbf Q_k^T-\mathbf Q_k^T)\vec v=\vec 0\quad\checkmark$$Dabei wurde die Voraussetzung \(\mathbf Q_k^T\cdot\mathbf Q_k=\mathbf I_k\) aus der Aufgabenstellung verwendet.