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Sei Qk = [q1,...,qk] ∈ Rmxk mit QkTQk = Ik und A = [a1,...,an] ∈ Rmxn mit linear unabhängigen Spalten ai.

Sei v∈Rm.

Wie zeige Ich (Im−QkQkT)v steht senkrecht auf q1,...,qk ???

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Aloha :)

Wenn der Vektor (ImQkQkT)v(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v auf den Spaltenvektoren q1,,qk\vec q_1,\ldots,\vec q_k senkrecht stehen soll, müssen die folgenden Skalarprodukte verschwinden:qiT(ImQkQkT)v=!0;i=1,,k\vec q_i\,^T\cdot(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v\stackrel!=0\quad;\quad i=1,\ldots,kWenn wir die Matrix Qk\mathbf Q_k transponieren, werden alle Spaltenvektoren q1,,qk\vec q_1,\ldots,\vec q_k zu Zeilenvektoren. Daher können wir die gerade aufgestellte Forderung für alle i=1,,ki=1,\ldots,k in einer Matrixgleichung zusammenfassen:QkT(ImQkQkT)v=!0\mathbf Q_k^T\cdot(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v\stackrel!=\vec 0

Wir berechnen die linke Seite und prüfen, ob wirklich der Nullvektor heraus kommt:

QkT(ImQkQkT)v=(QkTQkTQk=IkQkT)v=(QkTQkT)v=0\mathbf Q_k^T\cdot(\mathbf I_m-\mathbf Q_k\mathbf Q_k^T)\vec v=(\mathbf Q_k^T-\underbrace{\mathbf Q_k^T\cdot\mathbf Q_k}_{=\mathbf I_k}\cdot\mathbf Q_k^T)\vec v=(\mathbf Q_k^T-\mathbf Q_k^T)\vec v=\vec 0\quad\checkmarkDabei wurde die Voraussetzung QkTQk=Ik\mathbf Q_k^T\cdot\mathbf Q_k=\mathbf I_k aus der Aufgabenstellung verwendet.

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