Aloha :)
Wenn der Vektor (Im−QkQkT)v auf den Spaltenvektoren q1,…,qk senkrecht stehen soll, müssen die folgenden Skalarprodukte verschwinden:qiT⋅(Im−QkQkT)v=!0;i=1,…,kWenn wir die Matrix Qk transponieren, werden alle Spaltenvektoren q1,…,qk zu Zeilenvektoren. Daher können wir die gerade aufgestellte Forderung für alle i=1,…,k in einer Matrixgleichung zusammenfassen:QkT⋅(Im−QkQkT)v=!0
Wir berechnen die linke Seite und prüfen, ob wirklich der Nullvektor heraus kommt:
QkT⋅(Im−QkQkT)v=(QkT−=IkQkT⋅Qk⋅QkT)v=(QkT−QkT)v=0✓Dabei wurde die Voraussetzung QkT⋅Qk=Ik aus der Aufgabenstellung verwendet.