Gleichung mit Wurzeln berechnen

Question

Gesucht ist die Lösung der nachfolgenden Gleichung:

\( \sqrt{x}-\sqrt{x-1}=\sqrt{2 x-1} \)

Answer 1

 

beide Seiten quadrieren ergibt

x - 2 * √x * √(x - 1) = 2x - 1 | -x

-2 * √x * √(x - 1) = x - 1 | : (-2)

√x * √(x - 1) = -x/2 + 1/2 | Quadrieren

x * (x - 1) = x²/4 - x/2 + 1/4

x² - x = x²/4 - x/2 + 1/4

3/4 * x² - x/2 - 1/4 = 0 | * 4/3

x² - 2/3 * x - 1/3 = 0

pq-Formel

x_1,2 = 1/3 ± √(1/9 + 3/9) = 1/3 ± 2/3

x₁ = 1

x₂ = -1/3

 

Da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, müssen wir die Probe durchführen:

Für x₁ = 1:

√1 - √(1-1) = 1

√(2 * 1 - 1) = √1 = 1

Für x₂ = -1/3

√(-1/3) ist nicht erlaubt.

 

Also

x = 1

 

Besten Gruß

Answer 2

Die Lösung ist  x=1

denn

√1 -√1-1 =√2-1

             1=1