Zeigen Sie, dass q quadratische ist

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum V={ \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \) : a,b∈ℝ} und die Funktion q:V→R mit q(A) =Spur(A·A^t).

a) Zeigen Sie, dass q eine quadratische Form hat.

b) Bestimmen Sie eine Basis von V, bzgl. derer die Strukturmatrix von q die Einheitsmatrix ist.

Problem/Ansatz:

Um zu zeigen, dass q quadratisch ist, muss ich folgende Bedingungen zeigen:

i) Es gilt q(ax) =a²q(x) für alle a∈K und x∈V

ii) Die Abbildung β_q:V×V→K,(x,y) → q(x+y)−q(x)−q(y) ist eine Bilinearform auf V.

Ich habe ii) schon nachgewiesen, allerdings habe ich bei i) Probleme. Ich habe bereits folgendes gerechnet:

q(aB)= Spur(a(BB^t) )

= Spur(a( \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \) ))

= Spur(a(  \( \begin{pmatrix} a²+b² & 2ab \\ 2ab & a²+b² \end{pmatrix} \)

Nach den Rechenregeln einer Spur dürfte ich das a ja einfach herausziehen, allerdings komme ich dann nicht auf a². Hat jemand einen Idee was ich anders machen kann?

für b) habe ich leider gar keine Ahnung.

Answer 1

q(aB)= Spur(a(BB^t) )   Da ist was faul, muss doch heißen

q(aB)= Spur( (aB)*(aB)^t ) )  Dann kommst du auch auf a^2.

Comments

Oh vielen Dank, da wäre ich gar nicht drauf gekommen.

Answer 2

Wie hast du denn bei a) ii) gerechnet? Wenn du mir das hier einmal schreiben könntest, hätte ich vlt. eine Idee bei b)

Comments

Bin mir bei ii) halt gerade nur nicht ganz sicher, wie das aussieht. Das kann man aber dann für b) vlt verwenden.

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Ich habe folgendes gerechnet:

β(x+x',y) = q(x+x',y)-q(x+x')-q(y) = Spur(XX^t+X'X'^t+YY^t)-Spur(XX^t+X'X'^t)-Spur(YY^t) Das darf ich mit den Rechenregeln einer Spur auseinander ziehen, wenn ich dass dann richtig anordne bekomme ich folgendes:

=β(X,Y) + Spur(X'X'^t)- Spur(X'X'^t) hier mache ich anschließend eine Nulladdition mit +/-Spur(YY^t)

= β(X,Y) + β(X',Y)

Das zeige ich für β(X,Y+Y') genauso.

Anschließend muss ich noch zeigen, dass folgendes gilt:

β(λX,Y) = λβ(X,Y)= β(X,λY)

Da bin ich genauso vorgegangen wie oben.

Wie kann mir das bei b helfen? :)

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Wieso hast du nach dem ersten Strich beta( x, y) bekommen ? Wie kommst du darauf ? Ich glaube wir sind im selben Lina Kurs, habe auch die Aufgabe. Da stockt es bei mir und hatte eine Idee bei b) dann dazu, aber das klappt wohl nicht. Weiß auch dann nicht wie b) klappt, vlt kann hier jemand anderes noch helfen....

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Habe ab da folgendes gemacht:

Spur(XX^t+X'X'^t+YY^t)-Spur(XX^t+X'X'^t)-Spur(YY^t)

= Spur(XX^t) + Spur(X'X'^t) + Spur(YY^t) - Spur(XX^t) - Spur(X'X'^t) - Spur(YY^t)

= Spur(XX^t) + Spur(YY^t) - Spur(XX^t) - Spur(YY^t) + Spur(X'X'^t)- Spur(X'X'^t)

= Spur(XX^t+YY^t) - Spur(XX^t) - Spur(YY^t) + Spur(X'X'^t)- Spur(X'X'^t)

= q(XX^t+YY^t) - q(XX^t) - q(YY^t) + Spur(X'X'^t)- Spur(X'X'^t)

= β(X,Y) + Spur(X'X'^t)- Spur(X'X'^t)

Weiter dann wie oben beschrieben.

bei b) kriegt man durch rumprobieren bestimmt etwas raus, aber dachte vielleicht gibt es da einen Trick den ich nicht kenne.

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Danke. Ja glaube b) ist nicht schwer aber weiß halt nicht, wie die Schritte dafür sind.