Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle \mathbf{a}=(8,9)^{\top} unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion …

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

$$ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=15 x_{1}^{0.54} x_{2}^{0.34} $$

Berechnen Sie die folgenden Größen an der Stelle \( \mathbf{a}=(8,9)^{\top} \) unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion \( F(\mathbf{a}) \). (Gehen Sie außerdem davon aus, dass \( x_{1} \geq 0 \) und \( x_{2} \geq 0 \) gilt.)

a. Momentane Änderungsrate von \( x_{2} \) bei Veränderung von \( x_{1} \) um eine marginale Einheit.

b. Exakte Veränderung von \( x_{2} \), wenn sich \( x_{1} \) um 0.3 Einheiten verringert.

c. Approximative Veränderung von \( x_{2} \), wenn sich \( x_{1} \) um 0.3 Einheiten verringert.

Hat hierzu jemand die korrekte Lösung?

Answer 1

F(x,y)=15x^0.54*y^0.34. Stelle a=(8,9)^⊤

a)  ΔF = F_x(8;9)*dx + F_y(8;9)dy

==> 0 = 6,57dx +3,68dy ==>  dy = -1,788dx

also Änd.rate -1,788

c) dy= -1,788*-0,3= 0,536

b) F(8;9)=97,32

F(7,7 ;y)= 97,32

45,16y^0,34 =97,32  ==>  y = 9,56

Also vergrößert sich y um 0,563.

Vergleich mit c) Der exakte Wert

0,563  wird durch 0,536 angenähert.