linearkombinationen der Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren

v1=( 1 0 -1), v2=( 1 0 1), v3=(3 1 1), u=(2 3 6), w=(2 -2 6)

1.) Prüfe nach, ob die Vektoren u und w sich als Linearkombination der Vektoren v1,v2,v3 darstellbar sind, und gebe die Darstellung gegebenfalls an.

2) Sind die Vektoren v1, v2,v3 linear unabhängig?

Problem/Ansatz:

Wie lautet hier der Rechenweg? Wie kann man die Rechnung hier mit Matrizen berechnen?

Answer 1

Hallo,

für 1.) musst du herausfinden, ob sich der Vektor \(u\) als Linearkombination von \(v_1,v_2,v_3\) darstellen lässt. Dazu stellst du dann einfach ein LGS auf, so in etwa (dann noch schön in die Matrix Form überführen und lösen):

$$x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}$$

für 2.) zeigst du mit:

$$x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

wende den Gauß Algorithmus an und du kommst dann auf:

$$x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0$$

Die Vektoren sind damit linear Unabhängig.

Kurzer Exkurs: Lineare Unabhängigkeit bedeutet, kann ich einen Vektor als einen anderen Vektor schreiben z.B. (1, 2) und (2, 4), letzterer ist eine Variante vom Ersten nur mit zwei multipliziert...

Comments

Okay, danke! Und wie mach´ ich das genau? Könntest du bitte den gesamten Rechenweg aufschreiben? Wir haben den Gauß-Alg. noch nicht gelernt. Wir haben solche Rechnungen mit Gleichungssytemen gelöst. Könntest du´s vielleicht auch so hinschreiben?

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Weißt du wie man ein LGS mit dem Gauß Verfahren löst? Wenn ja, dann ist das nur noch einsetzen der Werte von oben und lösen...

Edit: Nachdem du dein Kommentar nochmal angepasst hast, ja das geht auch du hast dann für 1.)

GL 1: x + y + 3z = 2

GL 2: z = 3

GL 3: -x + y + z = 6

Aus GL 1 folgt (ich habe z = 3 eingesetzt): x = 2 - 3*(3) -y

Aus GL 3 folgt (ich habe z = 3 eingesetzt): -x = -y -3 + 6 → x = y + 3 - 6

Setze GL 1 & 3 gleich 2 - 9 - y = y + 3 - 6 → y = -2

dann folgt x = -5

Also AiO x = -5, y = -2, z = 3

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wir haben das so gerechnet, indem wir 3 gleichungen aufgestellt haben. Für a1= -2 - 3a3

für a2= 4- 2a3 und wenn man die beiden in die 1. Gleichung einsetzt, kommt man auf 2=2

Aber wie kann ich aus dieser Gleichung erkennen, ob sich die Vektoren als Linearkomb. darstellen lassen?

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Also kurz zu dem Weg, die Idee habe ich ja ganz oben skizziert. Du nimmst deine drei v Vektoren und schreibst vor jeden x,y,z (so wie ich das oben gemacht habe). Das setzt du dann gleich mit dem u Vektor. Die Idee ist und hier kommt der wichtige Teil, dass ich für x,y,z Werte finde, mit den sich der Vektor u darstellen lässt. Setze z.B. einmal die x,y,z Werte oben ein, du stellst dann fest, dass das gleich ist (linke Seite ist gleich rechte Seite)

$$ x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ -5\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + -2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$

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Und wie führt man die in die Matrix-Form?

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Nichts leichter als das:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 &1 & 3 & 2 \\  0 & 0 & 1 & 3 \\ -1 & 1 & 1 & 6 \\\end{array}\right)$$

weißt du was ich meine? Das ist dann diese für das Gauß Verfahren typische Form...

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Okay, das mache ich, aber wie finde ich denn heraus, ob es eine linearkomb. ist? Wenn man für x y z keine Werte rausbekommt?

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ich weiß, wo der Fehler liegt. Ich habe in der Angabe den falschen vektor angegeben. v1 müsste (1 1 -1) sein. Tut mir leid.

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Könnten wir nochmal die rechnung mit v1(1 1 -1) durchgehen, falls es für dich nicht anstrengend wird?

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Also für den neuen Vektor ergibt sich dann:

\(x\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Das Gleichungssystem ist dann:

x   + y   +3z   = 2
x     + z   = 3
-1x   + y   + z   = 6

Wenn du das umstellst kommst du auf

x   + y   + 3z   = 2
-1y   -2z   = 1
0    = 10

letztere ist eine falsche Aussage denn 0 ist nicht gleich 10!

Das heißt der Vektor u kann damit dann nicht als Linearkombination dargestellt werden (sonst hätten wir ja drei Werte x,y,z erhalten, was wir nicht haben!!!)

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Vielen Dank! Wenn aber zb 6=6 raus käme, dann kann man es als Linearkomb. darstellen oder? oder was müsste rauskommen, damit es eine Linearkomb. ist?

Wenn man die Vektoren als Linearkombination darstellen kann, dann sind die immer linear abhängig, oder?

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Für eine Linearkombination müsstest du dann drei Werte (x,y,z) erhalten. Du kannst jederzeit die Probe machen, wie ich das oben gemacht habe. Ich konnte ja am Ende den Vektor u mit den drei Vektoren v_1,v_2,v_3 darstellen indem ich x * v_1 + y * v_2 + z * v_3 = u gerechnet habe, das war eine Identität wie 6 = 6 z.B eine ist. Allerdings stimmt die Rechnung nicht mehr, da du ja sagtest, dass der v_1 Vektor falsch war. Dennoch bleibt die Idee dahinter immer die gleiche!

Brich es einmal herunter auf ein ganz einfaches Beispiel im 2D Raum. Wir haben (1, 0) und (0, 1) sowie den Vektor (5, 0). Dieser Vektor (5, 0) kann als Linearkombination der Vektoren (1, 0) und (0, 1) angegeben werden und zwar genau so: (5, 0) = 5*(1, 0) + 0*(0, 1), du verstehst?

Damit mir das gelingt, muss ich Werte finden (x,y), die dann den (5, 0) Vektor ergeben, hier ist also die Frage, was ergibt (5, 0) = x*(1, 0) + y*(0, 1). Du siehst, hier ist die Lösung für x = 5 und für y = 0...

Hattet ihr den Begriff "Basis" bereits?

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Wenn ich zb. w einsetze und überprüfe, ob sich das als Linearkomb. darstellen lässt, dann kommen nicht 3 Werte raus, sondern nur 2=2. Für a1= - 2-a3 für a2=4-2a3. In dem Fall sind es 3 unbekannte Werte. Ist es dann linear abhängig, also kann man daraus eine Linearkomb. bilden? weil ja 2=2 eine wahre aussage ist?

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Ja, basis hatten wir. aber manchmal kann man das nicht so schnell erkennen, obs darstellbar ist. Daher muss ich solche Gleichungssysteme aufstellen

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Also wenn alles gut läuft kann man drei Werte erhalten (x,y,z), dann kann ein Vektor wie ich das oben im Beispiel gezeigt habe als Linearkombination aufgeschrieben werden. Jetzt gibt es aber auch noch weitere Fälle, nämlich keine Lösung, dann kann der Vektor nicht als Linearkombination aufgeschrieben werden, oder unendlich viele (das trifft z.B. auf deinen w Vektor zu!). Sagen wir mal du hast sowas wie 0 = 0 erhalten (nur als Beispiel), dann kannst du eine Variable frei wählen.

Auf deine Aufgabe bezogen für den Vektor w erhält man die Lösungen x = -2 -z, y = 4 -2z, z= z, Ich kann also das z frei wählen sagen wir z = 1, dann ist: y = 2, x = -3

\(-3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \)

Ich kann also den Vektor w als Linearkombination schreiben...

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Achsooo :) jetzt hab ich´s verstanden. das war mir eben davor nicht klar. Also ist z nicht eindeutig, dh. ich kann Werte frei wählen? rein theoretisch könnte ich dann 2,3,4,5 usw. auch wählen und den vektor (2 - 2  6) bekommen, oder?

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Ja das geht! Setzt doch bitte gerne den Wert deiner Wahl ein, bitte beachte aber, dass du das dann anpassen musst (x = -2 -z, y = 4 -2z, z= z) für deinen Wert von z.

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habe ich und es kommt tatsächlich der vektor w heraus.

Und wenn ich angenommen 12=0 rausbekomme würde, dann wäre das linear unabh. oder?

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Dann gibt es keine Lösung...

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Ja, schon, aber linear unabh. wäre es dann auch oder?

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Die Vektoren (1, 1, -1)^T, (1, 0, 1)^T und (3, 1, 1)^T sind linear abhängig, denn

1*(1, 1, -1)^T + 2*(1, 0, 1)^T = (3, 1, 1)^T, das hast du auch erkannt, weil das LGS eine Nullzeile 0 = 0 bildet :)

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Okay, also sobald 0=0 ist oder 2=2 sind sie linear abhängig und linear abhängig heißt,dass die lösung nicht eindeutig ist, also dass ich beliebige werte für zb. z wählen kann?