Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge...
Du musst hier den Graphen der Funktion \(f(x)=ax^2\) im Intervall von \([0;8]\) um die \(x\)-Achse rotieren. An jeder Stelle \(x\) auf der Achse entsteht dadurch ein Kreis mit dem Radius \(f(x)\). Seine Fläche ist daher \(\pi\cdot [f(x)]^2\). Alle diese Kreisflächen werden mit einem Integral zum Volumen summiert:$$V=\int\limits_0^8\pi\cdot [f(x)]^2\,dx=\int\limits_0^8\pi a^2x^4\,dx=\pi\,a^2\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^8=\pi\,a^2\frac{8^5}{5}=\frac{8^5\pi}{5}\,a^2$$
Aus der Zeichnung kann man den Funktionswert \(f(8)=2\) ablesen, das heißt \(a\cdot8^2=2\) bzw. \(a=\frac{2}{8^2}\). Das Volumen beträgt in diesem konkreten Fall also:$$V=\frac{8^5\pi}{5}\cdot\frac{2^2}{8^4}=\frac{4\cdot8}{5}\pi=6,4\pi\approx20,1061$$
Ergänzung:
Mir ist gerade noch was aufgefallen. Die Flüssigkeit reicht nur von \(x=3\) bis \(x=8\). Mit "Volumen" könnte auch die Füllmenge gemeint sein. In diesem Fall müsstest du das Volumen von \(x=0\) bis \(x=3\) von dem bisher berechneten subtrahieren:
$$\text{Füllmenge}=V-\frac{3^5\pi}{5}a^2=6,4\pi-\frac{3^5\pi}{5}\cdot\frac{2^2}{8^4}=6,4\pi-0,149103\approx19,9571$$
