Hallo,
a) Bestimme die zweite Nullstelle der zur Parabel gehörenden Funktion.
Parabeln haben die Eigenschaft, dass die Steigung einer Sehne immer genauso groß ist, wie die Steigung der Parabel in der Mitte zwischen den beiden X-Werten der Schnittpunkte der Sehne mit der Parabel.
Die Steigung der Sehne durch die Punkte \(A(0|\,12)\) und \((6|\, 0)\) ist$$m = \frac{0-12}{6-0} = -2$$Die Mitte zwischen \(A\) und der Nullstelle liegt bei 3. Eine umgekehrte Normalparabel hat an der Position \(x_s+1\) die Steigung \(m=-2\), folglich liegt der Scheitelpunkt bei \(x_s=3-1=2\) und da die Nullstellen symmetrisch zum Scheitel liegen, ist die zweite Nullstelle $$x_2 = 2x_s - x_1 = -2$$
b) Gib die Gleichung der Parabel in der Scheitelform...
Die allgemeine Scheitelpunktform ist $$y = a(x-x_s)^2 + y_s$$da es sich um eine an der x-Achse gespiegelte Normalparabel handelt, ist \(a=-1\). \(x_s=2\) hatten wir schon und $$y_s = y(0) - (-1)(0 - 2)^2 = 12 + 4 = 16\\ \implies y =-(x-2)^2 + 16$$
... und der allgemeinen Form an
Die ist $$y=ax^2 + bx + c$$ \(a=-1\) (s.o.) und \(c=12\), das folgt aus \(A(0|\, 12)\) und \(b\) ist$$b = \frac{y(6) - (-1)x_1^2 - 12}{x_1} = \frac{0+36 - 12}{6} = 4 \\ y = -x^2 + 4x + 12$$
~plot~ -(x-2)^2+16;[[-4|8|-2|20]];-x^2+4x+12 ~plot~
Passt!
