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i) Bestimmung der Abbildungsmatrix.
Die Matrix \(A\) soll wie folgt wirken:$$\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}=A\binom{3}{2}\quad;\quad\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=A\binom{4}{3}$$Beide Gleichungen können wir zu einer Matrizen-Gleichung zusammenfassen:$$A\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)$$Damit können wir \(A\) berechnen:
$$A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\begin{pmatrix}3 & 4\\2 & 3\end{pmatrix}^{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 1\\4 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & -4\\-2 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)$$
ii) Anwendung von \(L\) bzw. \(A\) auf \(\vec v_3\).
$$A\cdot\vec v_3=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{1}{-1}=\begin{pmatrix}12\\-5\\23\end{pmatrix}$$
iii) Bestimmung der Urbilder von \(\vec w_3\) und \(\vec w_4\).
Wir sollen die Urbilder \(\vec u_3\) und \(\vec u_4\) bestimmen, sodass:
$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\cdot\binom{u_{3,x}}{u_{3,y}}=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}\quad;\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\cdot\binom{u_{4,x}}{u_{4,y}}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$$Wir haben hier zwei überbestimmte Gleichungssysteme mit je 3 Gleichungen und nur 2 Unbekannten. Das kann schief gehen, in dem Sinne, dass die beiden Unebkannten nicht alle 3 Gleichungen gemeinsam erfüllen. Das bedeutet, dass der angegebene Bildvektor nicht zum Wertebreich von \(L\) bzw. \(A\) gehört. Zur Berechnung fassen wir beide Gleichungen zu einer Matrix-Gleichung zusammen, lassen die letzte Gleichung weg, berechnen die beiden Unbekannten und prüfen am Ende, ob die erhaltenen Vektoren \(\vec u_3\) und \(\vec u_4\) tatsächlich auf die Vektoren abbilden.
$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}u_{3,x} & u_{4,x}\\u_{3,y} & u_{4,y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)\quad\implies$$$$\left(\begin{array}{rr}u_{3,x} & u_{4,x}\\u_{3,y} & u_{4,y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{rr}u_{3,x} & u_{4,x}\\u_{3,y} & u_{4,y}\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{rr}3 & 7\\2 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2 & 10\\1 & 7\end{array}\right)$$Wir finden also die potentiellen Urbilder:$$\vec u_3=\binom{2}{1}\quad;\quad \vec u_4=\binom{10}{7}$$Die abschließende Prüfung steht aber noch aus:
$$\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{2}{1}=\begin{pmatrix}3\\-1\\7\end{pmatrix}=\vec w_3\quad\checkmark\quad;\quad\left(\begin{array}{rr}5 & -7\\-2 & 3\\10 & -13\end{array}\right)\binom{10}{7}=\begin{pmatrix}1\\1\\9\end{pmatrix}\ne\vec w_4$$Der Vektor \(vec w_3\) hat das Urbild \(\vec u_3\). Der Vektor \(\vec w_4\) gehört nicht zur Bildmenge von \(L\) bzw. \(A\) und hat deswegen kein Urbild \(\vec u_4\).
