Ableitung einer Funktion in angegebene Richtung

Question

folgende Definition:

fu(x) = \( \frac{∂f(x)}{∂u} \) := \( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{f(x + hu) - f(x)}{h} \)

Aufgabe:

Nutzt diese Definition um die Ableitungen folgender Funktionen in die angegebenen Richtungen zu bestimmen.

f(x) = 2x₁² + 2x₂² + 2x₁x₂     für u = \( (1,-1)^{T} \)  und v = \( (1,1)^{T} \)

Problem:

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich das u bzw. das v so in das f(x) einfügen kann, dass ich auf die oben genannte Formel komme.

Außerdem bin ich mir unsicher, was genau mit x₁ und x₂ gemeint ist bzw. allgemein mit u und v gemeint ist.

Und was genau bedeutet das hoch-T bei u und v?

Ansatz:

Wenn ich mir das ganze so ansehe, dann würde ich die Definition von oben anwenden, wobei ich dann für f(x + hu) für x₁ den 1. u-Wert(1) und für x₂ den 2. u-Wert(-1) einsetzen würden und dann von der ganzen Formel den Grenzwert berechnen würde.

Danach würde ich das gleiche analog für v machen.

Stimmt mein Ansatz so, oder liege ich komplett falsch?

Answer 1

Dein Ansatz stimmt. Und das " hoch T" heißt einfach nur "transponiert!, also

statt der beiden Komponenten nebeneinander  ( 1 ; -1 ) soll man sie untereinader

(wie es in R^2 üblich ist.) schreiben also

1
-1

.Wenn du das mit dem u machst, komme ich auf

f_u(x) = -2x₁+ 2x₂

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, ich denke jetzt verstehe ich es.

Ich hab das ganze auch mal durchgerechnet, aber ich komme auf die Lösung

f_u(x) = 2x₁-2x₂

Hätte ich da für x₁ u=-1 und für x₂ u=1 nehmen sollen oder hast du dich "verrechnet"?

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Hast recht, ich hatte die Vorzeichen verwechselt.