Matrizen, darstellende Matrizen, Leibnizformel, Basis, Determinante

Question

Hallo, ich muss folgende Aufgaben lösen und bräuchte dabei Hilfe.

Text erkannt:

Aufgabe 1. Finden Sie eine Formel für \( \left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)^{n} \) und beweisen sie durch Induktion über \( n \in \mathbb{N} \sqcup\{0\} \).

Aufgabe 2. Seien \( V \) und \( U \mathbb{R} \) -Vekorräume mit \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V=3, \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} U=2 \). Eine \( \mathbb{R} \) -lineare Abbildung \( f: V \rightarrow U \) hat die darstellende Matrix \( A={ }_{T} A_{L}^{[f]}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right) \) bezüglich der Basen \( L=\left\{\bar{v}_{1}, \bar{v}_{2}, \bar{v}_{3}\right\} \) von \( V \) und \( T=\left\{\bar{u}_{1}, \bar{u}_{2}\right\} \) von \( \mathbb{K}^{2} \). Finden Sie die darstellende Matrix von \( f \) bezüglich der Basen \( \mathcal{B}=\left\{\bar{v}_{1}, \bar{v}_{1}+\bar{v}_{2}, \bar{v}_{1}+\bar{v}_{2}+\bar{v}_{3}\right\} \subset V \) und \( \mathbb{Q}=\left\{\bar{u}_{1}-\bar{u}_{2}, \bar{u}_{1}+\bar{u}_{2}\right\} \subset U \),
also gesucht ist die Matrix \( _{\Omega} A_{B}^{[f]} \)

Aufgabe 3. Seien \( V \) und \( U \mathbb{K} \) -Vekorräume mit \( \operatorname{dim} V=n<\infty, \operatorname{dim} U=m<\infty . \) Sei \( f: V \rightarrow U \) eine \( \mathbb{K} \) -lineare Abbildung. Beweisen Sie, dass es Basen \( L \subseteq V, T \subseteq U \) und eine \( k \in \mathbb{N} \sqcup\{0\} \) gibt, s.d. \( _{T} A_{L}^{[f]}=P=\left(p_{i j}\right), \) wobei
\( p_{i j}=0, \) wenn \( i \neq j \)
\( p_{i i}=1, \) wenn \( i \leq k \)
\( p_{i i}=0, \) wenn \( i>k \)
Welche Bedeutung hat die \( \operatorname{Zahl} k ? \)
Aufgabe 4 . Finden Sie die Zahlen \( i, j, k \in\{1,2,3,4,5,6\}, \) s.d. das Produkt
$$ a_{51} a_{i 6} a_{1 j} a_{35} a_{44} a_{6 k} $$
mit dem Vorzeichen minus in der Leibniz-Formel für \( \operatorname{det}(A) \) mit \( A=\left(a_{i j}\right) \in \operatorname{Mat}_{6 \times 6}(\mathbb{K}) \) vorkommt.

Mein Ansatz:

1.) Ich denke hier muss man das Verfahren zum finden einer darstellenden Matrix umkehren, allerdings weiß ich nicht, wie man das macht. (Einfach ein LGS aufstellen?)

Die Induktion wäre dann kein Problem.

2.) Hier bin ich sehr unsicher.

3.) Ich denke, dass die Aufgabe mit den Definitionen halbwegs zu lösen ist. (Also die krieg ich hin glaube ich.)

4.) Auch hier weiß ich nicht, wie man das macht. (Einfach einsetzen?)

Vielen Dank!

Answer 1

1) Rechne einfach mal ein paar Fälle aus n=0, n=1, n=2 etc.

Dann merkst du sicher auch, es sieht bei hoch n ( für n>0)  immer so

aus          1       n    (n*(n+1))/2
               0       1          n
               0       0          1

und dann Induktion.

2)  Berechne erst mal f(v1). Weil v1 = 1*v1 + 0*v2 + 0*v3 ist, musst du rechnen

              1
Matrix *      0
                0

Das gibt

0
3

Also ist das Ergebnis 0*u1 + 3*u2 = 3*u2 .
Das Ergebnis musst du jetzt mit der Basis   u1-u2  ;  u1+u2 darstellen,

also mit zwei zahlen a und b, so dass gilt 3u2 = a*(u1-u2) + b*(u1+u2)

Das gibt 3u2 = (a+b)*u1    + ( -a+b)*u2

Es muss also a+b=0 und -a+b=3 sein, also a=-3/2  und b=3/2.

Das sind nun die Zahlen für die erste Spalte der

gesuchten Matrix, die sieht also so aus

-3/2     ?     ?
 3/2     ?      ?

Die 2. Spalte bekommst du, wenn du entsprechend das
Bild des 2. Basisvektors von B durch a*(u1-u2) + b*(u1+u2)

darstellst. Also erstmal rechnen f( v1+v2) = f(v1) + f(v2)

        = 3u2 + ( 1*u1 + 4*u2) = 1*u1 + 7*u2.

Jetzt 1*u1 + 7*u2 =  a*(u1-u2) + b*(u1+u2)

Ich bekomme (1-a-b)*u1 + (7+a-b)*u2 = 0

Und weil u1, u2 lin.unabh. sind

1-a-b =  0   und  7+a-b = 0  .

Also a=-3 und b=4 . Damit hast du schon was mehr von der Matrix

-3/2    -3      ?
3/2      4      ?  etc.

Geht auch einfacher mit den Basiswechselmatrizen ( falls

ihr das schon kennt ). Dann musst du nur ausrechnen:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1}*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Comments

ok vielen dank

die 1. habe ich jetzt erstmal absolviert

---

Hallo, danke für deine Ausführungen zu 2..

Ich bin jetzte bei 3. und 4. und entgegen meiner ursprünglichen Aussage, weiß ich jetzt auch bei 3. nicht weiter (*sorry*).

Kann mir noch jemand bei 3. und 4. helfen?

---

Bitte helft mir!

---

Besonders Aufgabe 3 macht mir Probleme. Hat nicht jemand einen Ansatz?

---

Ich versuche mal was zu 3:    In den Spalten der Darstellungsmatrix

stehen ja immer die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren

von L, die man braucht um diese Bilder mit der Basis T darzustellen.

Weil in den ersten Spalten der Matrix die ersten k Einheitsvektoren von K^n

stehen, müssen ja die k ersten Elemente von T genau die Bilder

der ersten k Elemente von L sein. Also geht es wohl so: Man wählt

in U eine Basis des Bildes von V. Diese besteht aus k Elementen t₁,..., t_k

dabei ist k der Rang der Abbildung. Diese k Vektoren ergänzt man zu einer

Basis von U und hat damit schon mal die gesuchte Basis T = { t₁,...,t_m}

Dann betrachtet man die Urbilder der t1,..., tk . Die sind als Urbilder

u1,...,uk eines linear unabhängigen Systems selber auch lin. unabh.

und lassen sich somit zu einer Basis von V ergänzen. Das ist dann

die Basis L. Und die ergänzten Basisvektoren sind ja alle im

Kern von f , also sind in der darstellenden Matrix die Spalten k+1 bis n

alle Nullspalten. Und damit hat die darstellende Matrix die

gewünschte Form.

sich also

---

danke, aber ich verstehe das nicht ganz. könntest du es mir es noch etwas besser ausführen?