Lineare Abbildungen und Vektorräume

Question

Hallo ihr lieben Mathematiker, ich habe eine Aufgabe zum Üben gefunden und weiß nicht wirklich etwas damit anzufangen. Jedoch wird gesagt, dass sie mir in einer folgenden Klausur helfen würde. Deshalb erbitte ich bei folgender Aufgabe um Hilfe:

Es seien K ein Körper und V = K^N.

Wir benutzen die Schreibweise (a1, a2, a3, . . .) für die Abbildung f ∈ K^N mit f(n) = an. Dabei gelten

(a1, a2, . . .) + (b1, b2, . . .) = (a1 + b1, a2 + b2, . . .)

Sei U = {(a1, a2, . . .) ∈ V : a1 = 0} ein echter Untervektorraum von V .

Zeigen Sie:
(a) U und V sind isomorph als K-Vektorräume mit dim(V ) = dim(U) = ∞.
(b) Konstruieren Sie eine injektive lineare Abbildung φ: V → V , die nicht surjektiv ist.
(c) Konstruieren Sie eine surjektive lineare Abbildung φ: V → V , die nicht
injektiv ist.

N: Menge der natürlichen Zahlen, wenn ich mich nicht irre.

Answer 1

Es geht also um den Vektorraum der Folgen von Elementen aus K.

In U sind alle Folgen, die mit dem Anfangssglied 0 beginnen,

in V sind alle. Also ist U jedenfalls Teilmenge von V; denn

eine Folge mit a₁=0 oder wie es oben heißen würde f(1)=0

ist ja jedenfalls auch eine Folge.

Basen der Vektorräume sind für U die Folgen

0,1,0,0,0,
0,0,1,0,0,

Und bei V kommt noch die Folge

1,0,0,0,... hinzu.

In beiden Fällen unendlich viele Elemente in der Basis,

also jeweils dim = ∞.

Ein Isomorphismus ist φ:V → U
          (a1, a2, . . .) → (0, a1, a2, . . .) .

injektive lineare Abbildung h, die nicht surjektiv ist:

φ:V → V  , (a1, a2, . . .) → (0, a1, a2, . . .) .

surjektive lineare Abbildung φ: V → V , die nicht
injektiv ist.  

φ:V → V , (a1, a2, . . .) → (a2, a3, . . .) .