Rang einer Blockmatrix?

Question

Aufgabe:

Rang einer Blockmatrix berechnen:

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe den Rang für den oberen linken und den unteren rechten Block mithilfe der Stufenform berechnet. Hier erhalte ich jeweils den Rang 3, darf ich in diesem Fall den Rang für beide Blöcke summieren (dh. Gesamt-Rang= 6)? Oder darf man das bei Blockmatrizen nicht?
Und wenn ja, gilt das auch wenn ich in den übrigen anderen Blöcken nicht nur Nuller hätte?

Answer 1

Hallo, hat eine Matrix \( A \) Rang zb \(n\), dann wird der Rang offensichtlich nicht verändert, wenn man mit Nullzeilen (oder Nullspalten) die Matrix \(A\) zu \(\begin{pmatrix}A\\0 \end{pmatrix}\) bzw., zu \(\begin{pmatrix}A&0 \end{pmatrix}\) oder zu \(\begin{pmatrix}A&0\\0&0 \end{pmatrix}\) erweitert. Es ist immernoch dieselbe Anzahl an Spalten (oder Zeilen) vorhanden, die linear unabhängig sind. Dasselbe geht nun mit einer weiteren Matrix \(B\), die sich so zb aus Nullen erweitern lässt \(\begin{pmatrix}0&0\\0&B \end{pmatrix}\). Dieselbe Argumentation wie bei \(A\).

Und wenn ja, gilt das auch wenn ich in den übrigen anderen Blöcken nicht nur Nuller hätte?

Nein. Damit können die vorigen Spalten (oder Zeilen) linear abhängig werden und somit die Dimension des Bildraumes verkleinert werden.

Comments

ok, danke

Dann bleibt der Rang=3 in diesem Bsp

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Genau.___________________