Aufgabe:
ich beschäftige mich zurzeit mit der Aufgabe für Zweikörperprobleme:
Es geht um zwei gleichgroße Massen \( m_{1}=m_{2}=m \) , die wie in der Abbildung dargestellt werden
durch Federn miteinander verbunden. Die Federkonstante der mittleren Feder sei \( k^{\prime} \), die
der beiden anderen \( k \). Außer den Rückstellkräften der Federn sollen keine Kräfte wirken.
Wir betrachten kleine Auslenkungen aus der Ruhelage, so dass das Hookesche Gesetz gilt.
Die Ortsvektoren der Massen seien \( \vec{r}_{1}(t)=\left(x_{10}+x_{1}(t)\right) \vec{e} \) und \( \vec{r}_{2}(t)=\left(x_{20}+x_{2}(t)\right) \vec{e}, \)
wobei \( x_{10} \) bzw. \( x_{20} \) jeweils die Position in der Ruhelage bezeichnet.
Hier werden mir zwei Aufgaben genannt, die mir etwas Kopfschmerzen machen. Bei der ersten kann ich einigermaßen erahnen wie man die Bewegungsgleichung aufstellt:
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen als Differentialgleichun-
gen für \( x_{1} \) und \( x_{2} \) auf.
(b) Integrieren Sie diese Gleichungen mit den Anfangsbedingungen \( x_{1}(0)=0, x_{2}(0)=\ell \),
\( \dot{x}_{1}(0)=0, \dot{x}_{2}(0)=0 \text { . Geben Sie an, wie sich der Schwerpunkt bewegt. } \)
Problem/Ansatz:
Mein Ansatz wäre, dass man hier die Summe und die Differenz der beiden Bewegungsgleichungen betrachtet. Es handelt sich hierbei ja um gekoppelte Oszillatoren, ich denke man muss hier zu Anfang die spezielle Lösung suchen der Form \( x_{1}(t)=\alpha_{1} e^{i \omega t}, \quad x_{2}(t)=\alpha_{2} e^{i \omega t} \), d. h. spezielle Schwingungen, bei denen beide Massenpunkte mit demselben zeitlichen Verhalten schwingen. Könnt ihr mir erklären, wie man ab da die bewegungsgleichung der DGL aufstellt?
Beim Integrieren weiß ich leider nicht, wie man das anhand der oben angeführten Anfangsbedingungen ausführt, hat jemand da eine Idee ???
