xn+1= 1/2*(xn + 2/xn)
==> $$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim\limits_{n\to\infty} ( \frac{1}{2}*(x_{n} +\frac{2}{x_{n}}))$$
Und jetzt Schritt für Schritt die Grenzwertsätze anwenden.
Und dabei beachten $$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1}=g $$
Dann gibt das $$\lim\limits_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim\limits_{n\to\infty} ( \frac{1}{2}*( x_{n} +\frac{2}{x_{n}}))$$ $$==> g = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2}* (\lim\limits_{n\to\infty}x_{n} +\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{x_{n}})$$
$$==> g = \frac{1}{2}*( g +\frac{\lim\limits_{n\to\infty}2}{\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}})$$
$$==> g = \frac{1}{2}*( g +\frac{2}{g})$$
==> 2g = g + 2/g
==> g^2 = 2
==> g = ±√2 Je nach Startwert .