Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung x3=3,5 liegt,

Question

Huhu, ich habe ein kleines Verständnisproblem zu einer Aufgabenlösung und würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Aufgabe:

$$g_{a}:\vec{x}=\begin{pmatrix} 2,5\\0\\3,5 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0\\-10a\\\frac{2}{a} \end{pmatrix}$$

Begründen Sie, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung x₃=3,5 liegt,

Problem/Ansatz:

Wenn man den Punkt in die Gleichung einsetzt, geht sie auf. Ich muss also nachweisen, dass es am Richtungsvektor scheitert. Ab hier habe ich leider Schwierigkeiten... Ich meine zu wissen, dass ich die Orthogonalität prüfen muss... Mir liegt die Lösung vor, die besagt, dass 2/a ungleich 0 ist, damit gäbe es keine Orthogonalität und es wäre bewiesen.

Was ich allerdings nicht verstehe ist, warum konkret getestet wird, ob 2/a=0 aufgeht. Wo ist da noch der Zusammenhang zu der Ebenengleichung?

Ich hoffe, es ist einigermaßen verständlich, was ich meine, ansonsten kann ich gerne versuchen, dass nochmal näher zu erläutern. Wäre schön, wenn irgendjemand mir das erklären könnte :)

Answer 1

Aloha :)

Die \(x_3\)-Koordinate der Ebenengleichung lautet:

$$x_3=3,5+r\cdot\frac{2}{a}$$

Da \(\frac{2}{a}\) niemals \(=0\) sein kann, ist die \(x_3\) Koordinate nur genau dann \(=3,5\), wenn \(r=0\) ist. In der Ebene \(x_3=3,5\) liegt also immer nur genau der Punkt \((2,5|0|3,5)\), den die Ebenengleichung für \(r=0\) liefert. Es kann also keine Schnittgerade der Ebene mit der Ebene \(x_3=3,5\) geben.

Comments

Das hat mir sehr geholfen, vielen lieben Dank!

Answer 2

Damit die Gerade in der Ebene liegt, muss für jede Wahl von r gelten 3,5+\( \frac{2r}{a} \)=3,5

oder \( \frac{2r}{a} \)=0. Dies kann für alle r aber nur gelten, wenn 2/a=0 aufgeht.