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Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene \(E:\space 2x + y + 2z = 6\) und die Geradenschar$$g_{a}:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ a \end{pmatrix}$$

Ermitteln Sie den Wert für \(a\), für den \(E\) und \(g_a\) orthogonal sind.


Problem/Ansatz:

Damit die beiden orthogonal zueinander sind, müssen meines Erachtens der Normalenvektor von E und der Vektor a parallel, also linear abhängig sein... Mit diesem Ansatz komme ich nur leider auf kein Ergebnis. Gibt es noch einen anderen Weg?

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Hallo Katharina,

Das stimmt, die Vektoren müssen linear abhängig sein. Kann es sein, dass der Richtungsvektor von \(g_a\) \(\begin{pmatrix} {\color{red}a}\\-1\\a \end{pmatrix}\) lautet?

Hallo Werner,


nein, der Vektor ist tatsächlich \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\a \end{pmatrix} \), dementsprechend verwirrt bin ich auch

so wie es oben steht, mit$$E:\quad 2x + y + 2z = 6\\g_{a}:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ a \end{pmatrix}$$ hat die Aufgabe dann keine Lösung!$$E \not\perp g_a \space \forall a \in \mathbb{R}$$

1 Antwort

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Normalenvektor von E und der Vektor a parallel, also linear abhängig sein

Das ist richtig so.

Gibt es noch einen anderen Weg?
  1. Aus der Koordinatenform die Parameterform

            \(\vec x = \vec a + s\cdot \vec v + t\cdot \vec w\)

    aufstellen.

  2. Das Gleichungssystem

            \(\begin{aligned} \vec{v}\cdot\left(\begin{smallmatrix}1\\ -1\\ a \end{smallmatrix}\right) & =0\\ \vec{w}\cdot\left(\begin{smallmatrix}1\\ -1\\ a \end{smallmatrix}\right) & =0 \end{aligned}\)

    lösen.

Damit wirst du aber ebenfalls auf keine Lösung kommen. Weil es keinen Wert für \(a\) gibt, so dass \(E\) und \(g_a\) orthogonal zueinander sind.

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