Ebene und Gerade - Orthogonalität

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Ebene \(E:\space 2x + y + 2z = 6\) und die Geradenschar$$g_{a}:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ a \end{pmatrix}$$

Ermitteln Sie den Wert für \(a\), für den \(E\) und \(g_a\) orthogonal sind.

Problem/Ansatz:

Damit die beiden orthogonal zueinander sind, müssen meines Erachtens der Normalenvektor von E und der Vektor a parallel, also linear abhängig sein... Mit diesem Ansatz komme ich nur leider auf kein Ergebnis. Gibt es noch einen anderen Weg?

Comments

Hallo Katharina,

Das stimmt, die Vektoren müssen linear abhängig sein. Kann es sein, dass der Richtungsvektor von \(g_a\) \(\begin{pmatrix} {\color{red}a}\\-1\\a \end{pmatrix}\) lautet?

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Hallo Werner,

nein, der Vektor ist tatsächlich \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\a \end{pmatrix} \), dementsprechend verwirrt bin ich auch

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so wie es oben steht, mit$$E:\quad 2x + y + 2z = 6\\g_{a}:\quad \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ a \end{pmatrix}$$ hat die Aufgabe dann keine Lösung!$$E \not\perp g_a \space \forall a \in \mathbb{R}$$

Answer 1

Normalenvektor von E und der Vektor a parallel, also linear abhängig sein

Das ist richtig so.

Gibt es noch einen anderen Weg?

1. Aus der Koordinatenform die Parameterform

           \(\vec x = \vec a + s\cdot \vec v + t\cdot \vec w\)
   

   aufstellen.

2. Das Gleichungssystem
   

           \(\begin{aligned} \vec{v}\cdot\left(\begin{smallmatrix}1\\ -1\\ a \end{smallmatrix}\right) & =0\\ \vec{w}\cdot\left(\begin{smallmatrix}1\\ -1\\ a \end{smallmatrix}\right) & =0 \end{aligned}\)

   lösen.
   

Damit wirst du aber ebenfalls auf keine Lösung kommen. Weil es keinen Wert für \(a\) gibt, so dass \(E\) und \(g_a\) orthogonal zueinander sind.