Aufgabe:
Bestimmen Sie für die folgenden Mengen X ⊆ R und Halbordnungen jeweils (sofern sie existieren) größte und kleinste Elemente, maximales und minimales Element sowie Supremum und Infimum.
1. X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} mit der Teilbarkeitsrelation n | m :⇔ ∃k ∈ Z : k · n = m.
2. X = {1,2,3,6,12} mit der Teilbarkeitsrelation.
3. X = {1/n : n ∈ N \ {0}} mit der gewöhnlichen Kleiner-Gleich-Relation.¨
4. X = N mit der Teilbarkeitsrelation.
Problem/Ansatz:
1.
Was ich weiß:
u ist untere Schranke von X <=> $$\forall x\epsilon X:x \geq u$$
o ist obere Schranke von X <=> $$\forall x\epsilon X:x \le o$$
Dabei ist die größte untere Schranke das Infimum und die kleinste obere Schranke das Supremum. Sofern das Infimum oder das Supremum ein Element der Menge X ist, zählt es auch als Minimum oder Maximum. Somit würde ich bei 1. die Zahl 1 als Minimum und kleinstes Element angeben und die Zahl 12 als Maximum und größtes Element angeben. Als Supremum hätte ich {{1,2},{2,4},{3,6},{4,8},{1}} angeben und als Infimum {{1,12},{2,12},{3,12},{4,12},{5,10},{6,12},{12}}.
2. Auch hier würde ich als kleinstes Element, Infimum, und Minimum die Zahl 1 angeben, sowie die Zahl 12 als Maximum und größtes Element angeben und {{1,2},{2,6},{3,6},{1}} als Supremum sowie {{1,12},{2,12},{3,12},{12}} als Infimum.
3. Auch hier würde ich als kleinstes Element und Minimum die Zahl 1 angeben. Infimum. Supremum, größtes Element und Maximum entfallen?
4. Hier würde ich als größtes Element und Minimum die 0 und als kleinstes Element die 1 angeben. Infimum und Supremum entfallen.
Ich meine jedoch, die entsprechenden Punkte nicht richtig verstanden zu haben, da unser Prof nicht besonders gut erklären kann... Deshalb würde ich mich über eine Korrektur/Erklärung meiner Fehler freuen.
Herzlichen Dank und freundliche Grüße
Max
