Faktorraum und Erzeugendensystem

Question

Liebe Mitglieder,
Ich habe folgende Aufgabe als Übung zu lösen.

Seien v1,...,vn Elemente des K-Vektorraums V und U ein Untervektorraum von V
mit U ⊆⟨v1,...,vn⟩ und V/U =⟨v1 +U,...,vn +U⟩
Beweise V = ⟨v1,...,vn⟩.

Problem/Ansatz:
Ich habe die Erzeugnisse jeweils als endliche Linearkombinationen der Elemente der jeweiligen Mengen entwickelt, aber ich habe überhaupt keine Idee, wie ich dies verwenden und an den Beweis herangehen könnte. Ich zerbreche mir seit gestern den Kopf und komme nicht weiter. Bitte dringend um Unterstützung.
Danke, Prinzessinaladina

Answer 1

Um zu beweisen V = ⟨v1,...,vn⟩ musst du zeigen:

Jedes El. von V ist eine Linearkombination der v1,...,vn und umgekehrt:

Jede Linearkombination der v1,...,vn ist ein El. von V.

das zweite ist ja ganz einfach, da v1,...,vn Elemente  von V

sind, ist das auch jede Linearkombination davon (Abgeschlossenheit eines VR).

Sei also v∈V. Dann ist v+U ein El. von V/U. Wegen V/U =⟨v1 +U,...,vn +U⟩

gibt es x1,...,xn ∈ K mit v+U = x1*(v1 +U) +..., + xn*(vn +U)

                                            =  x1*v1 + ... xn*vn + U

Also insgesamt   v+U =  x1*v1 + ... xn*vn + U

==>      x1*v1 + ... xn*vn - v ∈ U

und wegen U ⊆⟨v1,...,vn⟩ gibt es also y1,...,yn ∈ K mit

             x1*v1 + ... xn*vn - v =   y1*v1 + ... yn*vn

<=>  ( x1-y1)*v1 + ......+ (xn-yn)*vn = v

Also ist v eine Linearkombination der v1,...,vn und

damit  v ∈ ⟨v1,...,vn⟩.    q.e.d.

Comments

Danke für die ergiebige Antwort. Ich habe eine Nachfrage:

Laut Skalarmulti in V/u ergibt sich, denke ich:

v+U = x1*(v1 +U) +..., + xn*(vn +U) =

((x1*v1) + U)+ ...+(( xn*vn) + U) Und das ist mit der Addition in V(U

v+U = ((x1*v1+...+ xn*vn) + U

usw. wie bei dir?

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stimmt, die xi bei dem U waren falsch.

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Danke für die wunderbare Hinleitung und noch ein schönes WE.

Herzlich

Prinzessinaladina