Faktorraum zeigen. (1) V/U = {(c,d,0,0) + U | c,d ∈ ℝ }

Question

Hallo liebe Leute,

ich benötige ! eure Hilfe bei einer Aufgabe, die wahrscheinlich gar nicht so schwer ist.

Sei V =ℝ⁴  und U = {(0,0,a,b)|a,b ∈ ℝ}. Zeigen Sie, dass

(1) V/U = {(c,d,0,0) + U | c,d  ∈ ℝ }

(2) V/U = ⟨(1,0,0,0)+ U, (0,1,0,0)+U⟩

Kann mir hierbei jemand helfen? Wie kann ich das zeigen? 

Mein Hauptproblem liegt irgendwie darin, das mit dieser Menge U zu machen. Habe das bisher nur mir Unterräumen gemacht...

Comments

Wie habt Ihr denn V/U definiert ?

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V = K-Vektorraum und U Unterraum von V

v+U = w+U ⇔ v-w ∈ U

Somit ist V/U := {v+U| v∈V} die Menge der Nebenklassen. 

Answer 1

V/U = {(c,d,0,0) + U | c,d  ∈ ℝ }

Dazu musst du wie üblich zeigen:

x ∈ V/U ==>  x ∈  {(c,d,0,0) + U | c,d  ∈ ℝ }

und umgekehrt.

Fang mal an mit     x ∈ V/U

also ist x eine Nebenklasse von U.

Das x ist also eine Menge von Elementen aus V, die

alle  eine Differenz haben, die in U liegt.

Dann musst du zeigen     x ∈ {(c,d,0,0) + U  | c,d  ∈ ℝ }

d.h.:   Es gibt c,d  ∈ ℝ  mit  x =(c,d,0,0) + U.    #

Sind nun s = (s1,s2,s3,s4)  und ,t=(t1,t2,t3,t4)  ∈ V mit   der Differenz   s-t  in U , dann folgt 

Es gibt ein u ∈ U mit   s--t = u

==>   s-t = ( 0 , 0 , a, b ) mit a,b aus ℝ.

==>  s1-t1 = 0 und s2 - t2 = 0 

==>  s1=t1 und s2=t3 , also 

sind s1 und s2 die gesuchten c und d aus #. 

Also hast du gezeigt

  x ∈ V/U  ==>    x ∈ {(c,d,0,0) + U  | c,d  ∈ ℝ }

Probier es mal umgekehrt, dann hast du insgesamt

V/U = {(c,d,0,0) + U | c,d  ∈ ℝ }