Um zu beweisen V = ⟨v1,...,vn⟩ musst du zeigen:
Jedes El. von V ist eine Linearkombination der v1,...,vn und umgekehrt:
Jede Linearkombination der v1,...,vn ist ein El. von V.
das zweite ist ja ganz einfach, da v1,...,vn Elemente von V
sind, ist das auch jede Linearkombination davon (Abgeschlossenheit eines VR).
Sei also v∈V. Dann ist v+U ein El. von V/U. Wegen V/U =⟨v1 +U,...,vn +U⟩
gibt es x1,...,xn ∈ K mit v+U = x1*(v1 +U) +..., + xn*(vn +U)
= x1*v1 + ... xn*vn + U
Also insgesamt v+U = x1*v1 + ... xn*vn + U
==> x1*v1 + ... xn*vn - v ∈ U
und wegen U ⊆⟨v1,...,vn⟩ gibt es also y1,...,yn ∈ K mit
x1*v1 + ... xn*vn - v = y1*v1 + ... yn*vn
<=> ( x1-y1)*v1 + ......+ (xn-yn)*vn = v
Also ist v eine Linearkombination der v1,...,vn und
damit v ∈ ⟨v1,...,vn⟩. q.e.d.