Welche Matrix gehört zu dieser quadratischen Form?

Question

Aufgabe:Man finde die zu der quadratischen Form gehörige symmetrische Matrix

b) 2(x₁)²-2x₁x₂+(x₂)²+4x₁x₃-3(x₃)²

Problem/Ansatz:Welche Matrix gehört zu dieser quadratischen Form?

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen eine symmetrische Matrix:

$$\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}. & . & . \\. & . & .\\ . & . & .\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=2x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+4x_1x_3-3x_3^2$$Die Quadrate können wir direkt auf der Hauptdiagonalen berücksichtigen:

$$\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & . & . \\. & 1 & .\\ . & . & -3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\underline{2x_1^2}-2x_1x_2+\underline{x_2^2}+4x_1x_3-\underline{3x_3^2}$$Übrig bleiben die nicht-diagonalen Elemente. Da die Matrix symmetrisch sein muss, tragen wir an Position $12$ bzw. $21$ jeweils den Wert $-1$ ein und an Position $13$ bzw. $31$ jeweils den Wert $2$.

$$\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\-1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & -3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\underline{2x_1^2}-\underline{2x_1x_2}+\underline{x_2^2}+\underline{4x_1x_3}-\underline{3x_3^2}$$