Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge...
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{(x+h)+1}-\frac{1}{x+1}}{h}=\frac{\frac{1\cdot (x+1)}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}-\frac{1\cdot(x+h+1)}{(x+1)\cdot(x+h+1)}}{h}=\frac{\frac{(x+1)-(x+h+1)}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}}{h}$$$$=\frac{1}{h}\cdot\frac{(x+1)-(x+h+1)}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}=\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}=\frac{-1}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}$$
Jetzt können wir den Grenzwert bilden, weil nicht mehr durch \(h\) dividiert wird:
$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-1}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}=-\frac{1}{(x+1)^2}$$