Zeige, dass für einen beliebigen Vektor v Element von V, v ungleich 0 ein φ∈V* (Dualraum)derart gibt, dass φ(v)≠0 gilt.

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum mit endlicher Dimension. Zeige, dass für einen beliebigen Vektor v Element von V, v ungleich 0 ein φ∈V* (Dualraum)derart gibt, dass φ(v)≠0 gilt.

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Wie gehe ich hier vor? ich habe leider keinen Anhaltspunkt :(

Answer 1

Hallo,

sei die Dimension von V gleich n. Dann wähle nach dem Basis-Ergänzungssatz eine Basis \((v,b_2,b_2, \ldots , b_n)\). Definiere \(\phi\) durch:

$$\phi(v):=1, \phi(b_i):=0 \text{ für } i=2, \ldots , n$$

Gruß

Comments

Ok, also der Basisergänzungssatz lautet folgendermaßen:  Sei V ein K-Vektorraum, M eine linear unabhängige Teilmenge und E ein Erzeugendensystem von V. Dann lässt sich M durch Elemente aus E zu einer Basis von V ergänzen.

Aber wie kann ich hierbei eine Basis wählen? Ich hab ja eigentlich quasi keine Richtwerte. Stehe da wirklich auf der Leitung...

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Hallo,

Du brauchst ja nur wissen, dass es eine geeignete Basis gibt. Weil V endlich-dimensional ist besitzt es eine Basis, wie wählen eine und nennen sie E. Dann setzen wir \(M=\{v\}\) und wenden den von Dir zitierten Satz an.

Gruß