Eigenschaften Ring - Algebra

Question

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich komme leider nicht weiter. Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!:)

Sei (G, +) eine abelsche Gruppe. Wir definieren  E_G = Abb(G, G) die punktweise Addition:

E_G ×E_G → E_G : (σ,τ) ↦ σ + τ durch (σ + τ)(g) = σ(g)+τ(g).

Untersuchen Sie, welche Eigenschaften eines Rings für (E_G,+,◦) erfüllt sind.

Comments

Wie ist deine Verknüpfung \(\circ\) definiert? Die brauchst du ja, um dann das Tripel \((E_G,+,\circ)\) auf Ring-Eigenschaften zu untersuchen.

Answer 1

\(\circ\) ist ja wohl die Verkettung von Abbildungen.

Dann musst du die Ringaxiome durchgehen.

1. (E_G,+,◦) assoziativ bzgl. + ?  Dazu seien x,y,z aus E_G .

Prüfe ob gilt (x+y)+z = x+(y+z), ob also für alle g∈G gilt

((x+y)+z)(g) = (x+(y+z))(g) . Sei also g∈G . Nach Def. von + gilt:

((x+y)+z)(g) = (x+y)(g) + z(g) 

                = ( x(g)+y(g)) + z(g)

wegen Assoziativität von + in G gilt

                = x(g)+   ( y(g)+ z(g) )

und Def. rückwärts anwenden gibt

          =x(g)+   (y+z)(g)

           =  ( x+  (y+z)) (g). Also erfüllt.

Ebenso für °. Für die Verkettung von

Abbildungen gilt Assoziativität immer.

etc. etc.

Comments

Aber ein Axiom soll bei der Selbstabbildung nicht funktionieren und zwar die Inverse, jedoch komm ich da nicht weiter. Trotzdem danke für die Antwort!

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Klar, bei der Hintereinanderausführung von Abbildungen

gibt es nicht immer eine inverse Abbildung. Aber das

ist ja auch bei den Ringaxiomen nicht gefordert, dass

es bei der Multiplikation inverse geben muss.

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Alles klar, danke für die Antwort. Jedoch hab ich trotzdem den Hinweis bekommen, dass ein axiom nicht funktioniert weil die Selbstabbildung dies einschränkt. Ich hab jetzt alle aufgeschrieben, aber weiß trotzdem nicht, welches Axiom verletzt sird.

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Vermutlich was mit der Distributivität. Für

x ° ( y+z)   =  x ° y+   x ° z

also müsste die Abbildung x ein

Gruppenhomomorphismus sein, das ist

aber nicht vorausgesetzt.