Aufgabe Kurventangente (Linearisierung)

Question

Aufgabe:

Die Funktion ln x ist in der unmittelbaren Umgebung von x0 = 5 zu

linearisieren, d.h. durch die dortige Kurventangente zu ersetzen. Berechnen Sie mit dieser
Näherungsfunktion die Funktionswerte an den Stellen x1 = 4,8 und x2 = 5,3 und vergleichen
Sie das Ergebnis mit den exakten Werten.

Problem/Mein Ansatz:

y = lnx

y' = 1/x

m = y' = 1/x

y = m*x+b

b=5

=> y = 1/x +5

x₁=4,8: 1/4,8 + 5 = 0,208 +5 = 5,208

x₂=5,3: 1/5,3 +5 = 0,189+5 = 5,189

f(4,8) = ln(4,8) = 1,569

f(5,3) = ln(5,3) = 1,668

Könnt ihr mir bitte helfen? :)

Answer 1

Hallo, dein Ansatz ist falsch. Der allgemeine Ansatz eine stetig und differenzierbare Funktion \(f\) (hier \(f(x)=\ln(x)\)) auf einem Intervall \(I\) an einer Stelle \(x_0\in I\) linear zu approximieren ist

\(t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)\).

Das erhält man durch lösen des folgenden LGS:

Ansatz \(t(x)=m\cdot x+b\)

\( (i)\quad f(x_0) = t(x_0)=m\cdot x_0+b\\(ii)\quad f'(x_0)=t'(x_0)=m\).

Allerdings ist die Wahl von \(x_0=5\) hier ziemlich ungünstig (sicher, dass es so gewählt werden soll?), denn man muss ja schon \(f(5)=\ln(5)\approx 1,6094\) berechnen, was keine ,,hübsche" Zahl ist und trotz Taschenrechner wieder nur eine Näherung und man damit keine Tangente bekommt.

Answer 2

Die Tangente an der Stelle x₀=5 hat die Gleichung

f(x)=1/5·x-1+ln(5). Dann ist

f(4,8) = 4,8/5 - 1 + ln(5) 

f(5,3) = 5,3/5 - 1 + ln(5).

Comments

Wie kommst du auf -1?

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An der Stelle x₀=5 liegt der Punkt (5|ln(5)) und hat die Kurve die Steigung m=1/5.

Einsetzen in die Punkt-Steigungs-Form 1/5=(y-ln(5))/(x-5). Auflösen nach y.

y=1/5·x-1+ln(5).