Richtungsableitung und Tangentenvektor berechnen

Question

Aufgabe:

Es sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y):=2-x^{2}-y^{2} \) und \( \gamma:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) ein differenzierbarer Weg mit \( \gamma(0)=(1,1) \) und \( \gamma^{\prime}(0)=(-1,-1) \). Berechnen Sie
\( \frac{d}{d t}(f \circ \gamma)(0) \)
und verwenden Sie dieses Ergebnis um die Richtungsableitung \( \partial_{v} f(a) \) von \( f \) an der Stelle \( a=\gamma(0) \) in Richtung des Tangentenvektors an die Kurve zu berechnen.
Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht was ich hier machen soll. Kann mir Jemand vielleicht weiterhelfen?

Comments

Verwende die Kettenregel, um die Ableitung von \(f \circ\gamma\) zu berechnen

Answer 1

Grundssätzlich gilt aufgrund der Kettenregel:

$$\frac d{dt}(f \circ \gamma )(0) =  \nabla f(\gamma (0))\cdot \gamma^{\prime}(0) = \begin{pmatrix} -2\\-2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix} = 4$$

Für den zweiten Teil benutze ich die Richtungsableitung in der Form, dass die Richtung durch einen normierten Vektor \(r\) gegeben ist. Also \(|r| = 1\). Dann gilt grundsätzlich

$$\partial_r f(a) = \nabla f(a) \cdot r$$

Angewendet auf dein Beispiel muss also \(\gamma^{\prime}(0)\) noch normiert werden:

$$\partial_r f(\gamma (0)) = \nabla f(\gamma (0))\cdot \frac{\gamma^{\prime}(0)}{|\gamma^{\prime}(0)|}= \frac{4}{\sqrt 2}=2\sqrt 2$$