Abbildungen und Äquivalenzrelationen

Question

ich hätte eine Frage bezüglich einer Aufgabe mit Äquivalenzrelationen, bei der ich keine Lösung finde.

Für eine Abbildung f : X → Y von Mengen definieren wir durch

x ≡f y :⇐⇒ f(x) = f(y)

eine Relation ”≡f “ auf X. Zeigen Sie:

(a) Die Relation ”≡f “ ist für jede Abbildung f eine Äquivalenzrelation.

(b) Für jede Äquivalenzrelation ”∼“ auf einer Menge X existiert eine Menge Y zusammen
mit einer Abbildung f : X → Y , so dass ”∼“ und ”≡f “ übereinstimmen

Answer 1

a) Reflexivität: f(x) = f(x) also x ≡f x.
Symmetrie: falls x ≡f y, dann f(x) = f(y) oder äquivalent f(y) = f(x) mit anderen Worten y ≡f x.
Transitivität: ist x ≡f y und y ≡f z dann ist f(x) =f(y) und f(y) = f(z) also f(x)=f(z) und damit x ≡f z.

b) Definiere f X → X/∼:= Menge der Äquivalenzklassen von X bzgl ∼,
durch f(x)= [x].
Ist nun x ∼ y, dann [x]=[y], bzw. f(x)=f(y), was aber x ≡f y ist.