Hallöchen mal wieder :D
Heute geht es um Äquivalenzrelationen bzw. bestimmte Gegebenheiten, die man Zeigen soll und ich hätte euch gebeten, mir Feedback für meine Lösungsansätze zu geben bzw. Hilfestellung, wenn etwas falsch ist.
Die Aufgabe geht wie folgt:
Sei M eine Menge und ∼ eine Äquivalenzrelation auf M. Wir schreiben [x] für die Äquivalenzklasse von x ∈ M bezüglich ∼, d.h. [x] := {y ∈ M | x ∼ y}. Ferner sei M/∼ die Menge der
Äquivalenzklassen.
Zeigen Sie:
(a) Für x, y ∈ M gilt [x] = [y] oder [x] ∩ [y] = ∅.
(b) Die Menge M ist die disjunkte Vereinigung der Teilmengen [x] ⊂ M für x ∈ M, es gilt
also:
M = U^(.)[x]∈M/∼[x].
(c) Ist ∗: M × M → M eine Verknüpfung, sodass für a, a′, b, b′ ∈ M mit a ∼ a′ und b ∼ b′ auch a ∗ b ∼ a′ ∗ b′ gilt, so existiert eine eindeutig bestimmte, wohldefinierte Verknüpfung
∗ : M/∼ × M/∼ → M/∼ mit [x] ∗ [y] = [x ∗ y] für alle x, y ∈ M.
Zu meinen Ansätzen:
(a): '<=' : Seien x, y ∈ M und [x] = [y] => [x] ∩ [y] = [x] ≠ ∅ ;
'=>': Seien x, y ∈ M und [x] ∩ [y] ≠ ∅, sowie a ∈ [x] ∩ [y]. => a ∼ x und a ∼ y. Mit Symmetrie von ∼: x ∼ a und a ∼y und Transitivitäteigenschaft von Äquivalenzen => x ∼ y, also [x] = [y]
(b): Es soll gelten: M = U^(.)[x]∈M/∼[x]
=> Sei ein y ∈ U^(.)[x]∈M/∼[x], dann ist y ∈ [x] mit einem x in M, also: y ~ x und y ∈ M.
<= Sei ein x ∈ M. Dann ist x auch ∈ [x] und x ∈ U^(.)[x]∈M/∼[x].
(c) Hier hoffe ich auf eine Hilfestellung, weil mir dazu einfach kein Ansatz einfällt :).
Ich bedanke mich schonmal herzlich für jegliche Antworten oder Hilfestellungen.
