Wann ist eine Fallunterscheidung bei Ungleichungen notwendig und warum?

Question

Aufgabe:

Wann ist eine Fallunterscheidung bei Ungleichungen notwendig und warum?

Problem/Ansatz:

Kann jemand auf diese Frage antworten?

Answer 1

Eine Fallunterscheidung ist notwendig, wenn du nicht weißt ob sich durch die Operation der Vergleichsoperator ändert oder nicht.

Beispiel.

        |x| > 5.

Ich möchte die Betragsstriche weglassen. Dazu:

1. Falls x ≥ 0 ist, dann ist x = 1·|x|.
   
2. Falls x < 0 ist, dann ist x = -1·|x|.
   

Im ersten Fall ändert sich der Vergleichsoperator durch Weglassen der Betragsstriche nicht.

Im zweiten Fall ändert sich der Vergleichsoperator durch Weglassen der Betragsstriche, weil das Weglassen der Betragsstriche eine Multiplikation mit einer negativen Zahl erfordert (oder allgemeiner, es erfordert die Anwendung einer monoton fallenden Funktion).

Deshalb Fallunterscheidung.

Answer 2

Beispiel die Parabel allgemeine Form y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao

Normalform 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel x1,2=-p/2 +/-Wurzel((p/2)²-q)

siehe Mathe-Formelbuch,was du privat in jedem Buchladen bekommst

Kapitel,quadratische Gleichung,Lösbarkeitsregeln

Beispiel: fa(x)=x²+(2*a)*x+4

also p=2*a und q=4

x1,2=-(2*a)/2+/-Wurzel((2*a/2)²-4)=-a+/-Wurzel(a²-4)

Radikand (a²-4)

nun die Lösbarkeitsregeln anwenden

0=a²-4 → a1,2=+/-Wurzel(4)=+/-2

1 Fall: a1,2=+/-2 dann Radikant (a²-4)=0 → doppelte Nullstelle (Graph berührt nur die x-Achse)

2 Fall: |a|>2 dann 2 reelle Nullstellen (2 Schnittstellen mit der x-Achse)

3 Fall: |a|<2 dann nur 2 konjugiert komplexe Lösungen (keine Schnittstelle mit der x-Achse)

Parabel liegt dann komplett über oder unter der x-Achse.