Die Funktionsgleichungen bestimmen!

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte nochmal Hilfe bei der Aufgabe: Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades sind der Punkt P(0;2) und der lokale Minimumpunkt T(1;1) bekannt. Außerdem weiß man, dass der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse liegt, nun soll ich die Funktionsgleichung aufstellen.

Answer 1

Wo ist dein Ansatz? Auf einige Gleichungen solltest du schon kommen. Was folgt zB aus der Achsensymmetrie?

Answer 2

y=ax^4+bx^2+c

Drei unbekannte brauchen drei Bedingungen.

1) f(0)=2

2) f(1)=1

3) f'(1)=0

Gleichungen aufstellen und das Gleichungssystem lösen!

Answer 3

Benutze

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Ansatz

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

Eigenschaften

f'(0) = 0
f'''(0) = 0 → diese Beiden für die Achsensymmetrie

f(0) = 2
f(1) = 1
f'(1) = 0

Gleichungssystem

d = 0
6b = 0

e = 2
a + b + c + d + e = 1
4a + 3b + 2c + d = 0

Funktion

f(x) = x^4 - 2·x^2 + 2

Answer 4

Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

\(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\)

der Punkt P(0;2)

\(f(0) = 2 \implies a\cdot 0^4 + b\cdot 0^3 + c\cdot 0^2 + d\cdot 0 + e = 2\)

der lokale Minimumpunkt T(1;...

\(f'(1) = 0 \implies 4a\cdot 1^3 + 3b\cdot 1^2 + 2c\cdot 1 + d = 0\)

T(1;1)

\(f(1) = 1 \implies a\cdot 1^4 + b\cdot 1^3 + c\cdot 1^2 + d\cdot 1 + e = 1\)

Außerdem weiß man, dass der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse liegt

\(b = 0\)

\(d = 0\)

Löse das Gleichungssystem.

Überlege dir auch, warum welche Bedingung in welche Gleichung übersetzt wird.

Answer 5

Hallo,

Achsensymmetrie bedeutet in diesem Fall, dass die Funktion nur gerade Exponenten hat.

\(f(x)=ax^4+bx^2+c\\f'(x)=4ax^3+2bx\\f''(x)=12ax^2+2b\\ \)

Jetzt hast du für die drei fehlenden Variablen drei Aussagen:

der Punkt P(0;2)

f(0) = 2

lokale Minimumpunkt T(1;1) bekannt.

f(1) = 1

f'(1) = 0

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Comments

Erstmal Danke für die Antwort,

ja soweit habe ich es verstanden, jedoch weiß ich nicht was ich mit der Achsensymmetrie machen soll. Könnten Sie mir da ein Tipp geben?

Gruß, Lilly

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Das war mein erster Satz:

Achsensymmetrie bedeutet in diesem Fall, dass die Funktion nur gerade Exponenten hat

achsensymmetrisch zur y-Achse: Die Funktion hat nur gerade Exponenten, d.h. x³ und x fallen hier weg.

punktsymmetrisch zum Ursprung: Die Funktion hat nur ungerade Exponenten